Тема 2.4. Исследование функций

2.4.1. Возрастание и убывание функций.

Если функция, y=f(x) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а,b), то эта функция возрастает на интервале (а,b).

Рис. 2.4.1

Если функция у=f(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интер­вала (а,b), то эта функция убывает на интервале (а,b).

Проиллюстрируем эти условия на рис. 1.4.1, на котором приведе­на функция, возрастающая в интервалах – < х < х₂ и х₄ < х < + и убывающая в интервале х₂ < х < х₄ .

2.4.2. Непрерывность функций.

Понятие непрерывности, как и понятие предела, – одно из центральных в математическом анализе.

Функция называется непрерывной в точке а, если:

1. эта функция определена в некоторой окрестности точки а;

2. существует предел ;

3. этот предел равен значению функции в точке а, т.е. .

Функция непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точки некоторой области, то она называется непрерывной в этой области.

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция не­прерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.

Точка а называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы , то а называется точкой разрыва I рода.

• Если , то а точка устранимого разрыва;

• Если , то а точка скачка.

Если точка не является точкой разрыва I рода, то она является точкой разрыва II рода.

Пример 2.4.1. Проверить функцию на непрерывность .

Знаменатель не может быть равен нулю , значит точка разрыва. Находим Т.о., функция при не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, является точкой разрыва II рода (рис.1).

На рис.2 изображен график функции, где устранимая точка разрыва.

Пример 2.4.2. Показать, что при х=4 функция y=arctg имеет разрыв.

Если х4 – 0,то 1/(х – 4)  – и Если же х4+0, то 1/(х–4) и Итак, при х4 функция имеет как левый, так и правый конечный предел, причем эти пределы различны. Следовательно, х=4 является точкой разрыва I рода – точкой скачка. Скачок функции в этой точке равен /2– (–/2)= .

2.4.3. Экстремумы функции.

Точка х₀ из области определения функции f(x) называется точкой локального минимума этой функции, если f(х₀)<f(х) для всех точек х из некоторой окрестности точки х₀.

Точка х₀ из области определения функции f(x) называется точкой локального максимума этой функции, если f(х₀)>f(х) для всех точек х из некоторой окрестности точки х₀. Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции. Рассмотрим график функции у=f(х), х  [а;b], (см. рис. 2.4.1). Точка х₂ является точкой максимума, а х₄ – точкой минимума. Экстремум функции связан с определенной окрестностью точки экстремума, а не со всей областью определения функции. По этой причине употребляется термин "локальный экстремум", т.е. экстремум, связанный с данным местом.

Необходимые условия существования экстремума

Необходимые условия существования экстремума дает теорема Ферма, которая известна по школьному курсу.

Теорема Ферма. Если точка х₀ является точкой экстремума фун­кции y=f(x) и в этой точке существует производная f (х), то f (х₀)=0.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции у=f(х) в точке, удовлетворяющей условиям тео­ремы Ферма, параллельна оси абсцисс (см. рис. 2.4.1).

у у=х² у у=х³

у у= x

х

х х

Рис. 2.4.4 Рис. 2.4.5 Рис. 2.4.6

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Пример 2.4.2. Производная функции f(x) = х² в точке х₀=0 обращается в нуль и, как видно из рис. 2.4.4, в этой точке данная функция имеет экстремум (минимум). Производная функции f(x) = х³ в точке х₀= 0 обращается в нуль, а экстремума в этой точке функция не имеет (см. рис. 2.4.5). Функция f(x) = x в точке х₀ = 0 не имеет производной. Однако, как видно из рис. 2.4.6, в точке х₀=0 она имеет экстремум (минимум).

Таким образом, экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция у=f(x) в некоторой окрестности точки х₀ имеет производную, кроме, быть может, самой точки х₀. Тогда:

1) если производная f (х) при переходе через точку х₀ меняет знак с плюса на минус, то х₀ является точкой максимума;

2) если производная f (х) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, то х₀ является точкой минимума;

3) если производная f (х) при переходе через точку х₀ не меняет знак, то в точке х₀ функция f(x) не имеет экстремума.

Пример 2.4.3. Исследовать на экстремум функцию f(х)=(2x+l)(x–2)^2/3.

- Находим производную данной функции f (х)=10/3(х–1)(х–2)^-1/3.

- Находим критические точки: х= 1 и х= 2.

- Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (–; 1), (1; 2), (2; +). Имеем таким образом х₁ = 1 – точка максимума, а х₂ = 2 – точка минимума.

- Вычисляем значения данной функции в точках экстремума у_max =f(1) = 3, у_min =f(2) =0.

Второе достаточное условие экстремума.

Если функция у = f(х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀, причем f (х₀) = 0, а f (х₀)0, то в точке х₀ функция f(х) имеет максимум, если f "(х₀) < 0, и минимум, если f "(х₀) > 0.

Пример 2.4.4. Исследовать на экстремум функцию у=(1/3)х³–2х²+3х–4.

- Находим производную f (х)= х²– 4х+3.

- Находим критические точки: х₁ = 1 и х₂ = 3.

- Находим вторую производную: f "(х) = 2х – 4.

- Определяем знак второй производной в критических точках, f "(1) = –2 < 0 и f "(3) = 2 > 0. Следовательно, х₁ =1 – точка максимума, а х₂ = 3 – точка минимума.

Пример 2.4.5. Исследовать на экстремум функцию у(х) = х⁴ – 2.

- Находим производную f (х)=4х³.

• Находим критическую точку х= 0.

• Находим вторую производную: f "(х) = 12х².

- Вычисляем f "(0) = 0. В критической точке вторая производная обращается в нуль, поэтому исследование проводим по первому правилу. Так как f (х) < 0 при х < 0, а f (х) > 0 при х > 0, то в точке х=0 данная функция имеет минимум, причем f_min= f(0) = –2.