2.4.6. Схема исследования функции для построения графика

Перед построением графика функции необходимо провести ис­следования ее по следующим пунктам:

1. Область определения функции (ООФ).

2. Область изменения функции (ОИФ).

3. Периодичность функции.

4. Четность или нечетность функции.

5. Монотонность функции.

6. Точки пересечения с осями координат:

а) с осью ОY(х=0); б) с осью OX(y=0).

7. Интервалы знакопостоянства.

8. Интервалы монотонности и экстремумы функции.

9. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

10. Асимптоты.

Пример 2.4.7. Исследовать функцию и построить её график: .

1. Область определения т.к. .

2. Исследуем функцию на четность

.

Функция нечетная, значит симметричная относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями. Пусть .Существует единственная точка пересечения с осями О(0;0).

4. Проверим на непрерывность: – точки разрыва.

Найдем уравнения асимптот:

• Вертикальные асимптоты. и т.к.

и .

• Горизонтальных асимптот нет т.к.

• Наклонные асимптоты .

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

5. Определим интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает на интервале , т.к. , а на остальных интервалах она убывает, т.к. .

Точки критические точки.

Для определения максимума и минимума найдем вторую производную.

; , следовательно, – точка максимума; ; , следовательно, – точка минимума; ; , значит, – точка перегиба.

6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости.

Функция выпуклая на интервале т.к. , а на интервале вогнутая т.к. .

Используя полученные данные, строим график функции (2.4.12). Если данных недостаточно для построения более точного графика, находим дополнительные точки.

Рис.2.4.12

Тема 2.5. Функции нескольких переменных

2.5.1. Линии и поверхности уровня

В предыдущих параграфах рассматривались числовые функции у = f(x) одной переменной х. Областью определения такой функции являлось множество Х  R. Числовая функция п пере­менных характеризуется тем, что областью ее определения является подмножество Х пространства R^п, п > 1. В этом случае значение аргумента х представляет собой точку (х₁, х₂,..., х_п) из R^п; соответственно у=f(х₁, х₂,..., х_п) (переменная у является функцией от п переменных х₁, х₂,..., х_п). Для функций двух переменных (п = 2) вместо х₁, х₂, у пишут обычно х, у, z, тогда z=f(x, y); точка (х, у) пробегает область определения Х  R ² функции f.

Линией уровня функции z=f(x,y) называют линию f(x,y)=С на координатной плоскости, в точках которой функция принимает постоянное значение С.

Например, для функции z=lnx+lny (x>0, y>0) любая из линий уровня определяется условиями х>0, у>0, ху=С (естественно, С > 0) и представляет собой ветвь гиперболы ху = С, расположенную в первой четверти.

При п > 2 множество уровня имеет уравнение f(х₁, х₂,..., х_п)=С и истолковывается как «поверхность» в R^п. Например, поверхность уровня функции u = х²+у² +z² есть поверхность в R³; она определяется уравнением

x²+y²+z²=C,

г де С  0, и представляет собой сферу радиуса C с центром в начале координат.