2.1.6. Основные элементарные функции и их графики
1. Линейная функция у = kx+b. График – прямая линия. Угловой коэффициент k равен tg, где – угол между положительным направлением оси Ох и прямой. При k = 0 имеем: у= b – прямая, параллельная оси абсцисс (Ох). Функция у=kx+b монотонно возрастает при k > 0 и убывает при k < 0. Возрастающая функция (при k > 0) описывает положительную зависимость величин х и у (пример – функция предложения), убывающая функция (при k<0) описывает отрицательную зависимость величин х и у (пример – функция спроса по цене). Если k=0, то у=b, т.е. величина у постоянна и не зависит от х.
Коэффициент b показывает значение функции в точке пересечения графика с осью Оу. Если b = 0, то у = kx – это прямая пропорциональная зависимость. Прямая у = kx проходит через начало координат.
2. Функция у = k/x называется гипербола, определена при всех значениях х за исключением точки х=0. Функция возрастает при k < 0 и убывает при k >0. Она выражает обратную пропорциональную зависимость между х и у. Функция нечетная, следовательно, гипербола симметрична относительно начала координат. Она расположена в первой и третьей четвертях, если k>0 и во второй и четвертой при k < 0. Оси координат являются асимптотами гиперболы.
3. Показательная функция у = ах (а > 0) определена на всей числовой оси, ее график находится в верхней полуплоскости. При а > 1 функция монотонно возрастающая, при а < 1 функция монотонно убывающая. График проходит через точку (0;1), так как а0 = 1. Ось Ох является асимптотой (см. рис. 2.1.2). В качестве основания степенной функции часто используется число е 2,71828... В этом случае функция называется экспонентой.
у
у =
ах
(а
> 1)
у
= logаx(а>1)
1
1 у = ах (а < 1) у= logаx(а<1)
x
Рис.2.1.2
Рис.2.1.3
4. Логарифмическая функция у = logаx (при а > 0 и а1). Функция определена при х > 0. Монотонно возрастает при а > 1, убывает при а < 1. график проходит всегда через точку (1;0), так как logаl=0. Oсь ординат является асимптотой для графика (рис.2.1.3). Логарифмическая функция у=logаx является обратной по отношению к показательной функции х= aу. В качестве основания логарифмической функции а часто используется число е 2,71828.... В этом случае логарифмическая функция называется натуральным логарифмом и обозначается у = lnх.
5. Степенная функция с любым рациональным показателем у = ха.
Выделяют следующие функции:
у = х2т, где т натуральное число.
Функции четные. Графики этих функций параболы (рис. 2.1.4).
у = х2т+1, где т натуральное число.
Графики функций такого вида во всей области определения возрастающие
(
рис.
2.1.5).
х2 х4 х3
Рис. 2.1.4 Рис. 2.1.5