2.5.7. Локальный экстремум функции двух переменных

Пусть функция f(x,у) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки М₀(x₀,y₀).

Точка М₀ называется точкой локаль­ного максимума (минимума) функции f(x,у), если существу­ет такая окрестность точки М₀, в которой для любой точки М выполняется неравенство f(M)  f(М₀) (f(M)  f(М₀)).

Точки локального максимума и локального минимума назы­ваются точками локального экстремума или просто точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если функция f(x,у) имеет частные производные первого порядка в точке локального экстремума М₀, то f_х'(М₀)=f_y'(М₀)=0.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки М₀, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль. Как и в случае функции одной переменной, такие точки называются стационарными.

Пример 2.5.8. Найти стационарные точки функции z=x³–3x+y⁴ –2у².

Имеем = x² – 3 = 0, = 4у³ – 4у = 0.

Из первого уравнения находим х = ± 1. Из второго находим у = 0, ±1. Следовательно, имеется шесть стационарных точек: (1;0), (1;1), (1; –1), (–1;0),

(–1;1) и (–1; –1).

Но не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Например, для функции f(x, у) = х² – у² частные производные первого порядка равны нулю в точке (0; 0), однако эта точка не является точкой локального экстремума.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция f(x,у) имеет непрерывные частные производные вто­рого порядка в некоторой окрестности стационарной точки М₀. Положим = (М₀) (М₀) –( (М₀))². Тогда:

1) если  > 0, то в точке М₀ функция имеет локальный экстремум, причем при (М₀)<0 – локальный максимум, при (М₀) > 0 – локальный минимум;

2) если  < 0, то в точке М₀ нет экстремума.

Пример 2.5.9. Исследовать на локальный экстремум функцию

z = х³ – 3х – (х +1 + arctg y)² .

Решение. Найдем стационарные точки, решив систему уравнений

= 3х² – 3 – 2(х +1 + arctg у) = 0,

= –2(х +1 + arctg у)/(1 + у²) = 0.

Из второго уравнения вытекает, что х + 1 + arctg у = 0. Тогда из первого следует, что 3х² – 3 = 0. Откуда х = ±1.

Так кaк |arctg y| < /2 <2, то (х+1+arctg у)  0 в случае х = 1. Если же х = –1, то если х + 1 + arctg у = 0, то и у = 0. Итак, имеется только одна стационар­ная точка М(–1; 0). Находим частные производные второго по­рядка: (M) = –8;

(M) = –2; (М) = –2. Поскольку (M) < 0 и  = (– 8) (–2) – (–2)²= 12 > 0, то точка М является точкой локального максимума. Интересно от­метить следующее: несмотря на то, что точка М является един­ственной стационарной точкой всюду дифференцируемой функции z, эта точка не является точкой глобального максимума. Действительно, z(M) = 2, однако существует точки, в которых значение z больше. Например, z(10;0) = 849 > 2.

2.5.8. Экономические приме­ры, связанные с производственной деятельностью фирм.

Пусть z – количество продукции, выпущенной некоторой фир­мой; х, у – затраты ресурсов двух видов; z=Q(x, у) – дифферен­цируемая функция, устанавливающая связь х, у и z. Предполо­жим, что величины х, у, z заданы в натуральных единицах, и р_x, р_y, р_z – соответствующие этим единицам постоянные цены. Тогда выручка (валовой доход) будет R(x, у) =р_zQ(x, у), а функция при­были запишется следующим образом:

(x,y)= R(x, у) – р_x x – р_y y. (2.5.11)

Пусть z* – оптимальный (с точки зрения прибыли) выпуск про­дукции; х*,у* – соответствующие затраты ресурсов. Тогда точка М(х*, у*) является точкой локального максимума функ­ции (х, у). Согласно необходимому признаку локального экстремума, в точке М обра­щаются в нуль частные производные первого порядка: _x(М)= R_x(М) – р_x = 0, _у(М) = R_у(М) – р_у = 0,

или R_x(М) = р_x, R_у(М) = р_у.

Вывод: в точке локального максимума прибыли предель­ная выручка от каждого ресурса совпадает с его ценой. Этот вывод сохраняется и в более общем случае, когда цена р_z зависит от объема выручки: р_z=р_z(Q).

Рассмотрим теперь фирму-монополию, которая продает свою продукцию на двух независимых рынках. Пусть р_i, q_i – соответ­ственно цена и количество продукции, проданной монополией на i-м рынке (i =1, 2). Из независимости рынков вытекает, что цена р₁ не зависит от q₂, т.е. р₁ = р₁(q₁). Аналогично р₂=p₂(q₂). Пусть С(q) – дифференцируемая функция издержек. Тогда функция при­были имеет вид = р₁q₁ + р₂q₂ –С(q₁+ q₂).

В точке локального максимума прибыли имеем

Отсюда получаем отношения цен:

(2.5.12)

Так как рынки по предложению независимы, то, исполь­зуя свойства эластичности функции одной переменной, имеем

Пример 2.5.10. На сколько процентов цена на втором из двух независимых рынков выше, чем на первом, если эластичность спроса на первом рынке (-2), а на втором – (-1,5)?

Решение. Используя формулу (2.5.12), находим

Следовательно, на втором рынке цена на 50% больше.