2.5.5. Однородные функции. Формула Эйлера.

Функция f(х₁,…, х_п) называется однородной степени а, если для любого t >0 выполняется равенство f(tх₁,…, tх_п)=t^a f(х₁,…, х_п).

Однородный многочлен степени п является, очевидно, однород­ной функцией той же степени однородности. Например, многочлен z= х² – 2ху+ 3у² является однородной функцией степени 2.

Степень однородности а может быть любым действитель­ным числом. Например, функция z = (х² + 3у²)^ является однородной функцией степени 2 от переменных х и у. Примером однородной функции степени 1 может служить произ­водственная функция Кобба-Дугласа, выражающая зависимость объема выпуска от затрат ресурсов (К – отражает затраты капитала, L – затраты труда). f( К, L) = СК ^1/4L ^3/4.

Предположим, что дифференцируемая функция f(x, у) явля­ется однородной функцией степени а, имеем f(tx, ty)=t^af(x,y). Продифференцируем левую и правые части этого равенства по t (левую часть – по правилу дифференцирования сложной функции, правую часть – как степенную функцию). В результате при­ходим к тождеству

f_x '(tx,ty)x + f_y '(tx,ty)y = аt^a-1f(x, у).

Положив здесь t= 1, получим формулу Эйлера:

f_x '(x,y)x + f_y '(x,y)y = аf(x, у). (2.5.8)

Аналогично записывается формула Эйлера для однородной функ­ции от любого числа аргументов.

Предположим, что функция z = f(x, у) не обращается в нуль в некоторой точке. Разделив тогда левую и правую части равенства (2.5.8) на значение функции в этой точке, получим фор­мулу

Е_zx + Е_zy =а, (2.5.9)

где Е_zx , Е_zy – коэффициенты эластичности z по х, по у.

Пример 2.5.6. Проверить соотношение (2.5.9) для функции u=x/(у + z).

Находим Е_ux =1, Е_uy = –y(у + z), Е_uz = –z(у + z). Следовательно, Е_ux+Е_uy+Е_uz=0, что согласуется с равен­ством (2.5.9), поскольку степень однородности функции и равна 0.

2.5.6. Частные производные высших порядков

Частные производные f_х'(x,y) и f_y'(x,y) называются частными производными первого порядка. Частные производные от них называются частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) от функции f(x,y). Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего поряд­ка (или третьими частными производными) и т.д.

Если первая производная функции z = f(x, у) была взята, ска­жем, по х, то ее частные производные в точке (x₀,y₀) обозначаются так:

или

Аналогичные обозначения используются и для дру­гих частных производных.

Например, и т.д.

Частные производные второго поряд­ка и называются смешанными частными производ­ными.

Пример 2.5.7. Найти все частные производные второго по­рядка от функции

z = х³ + у² + 5x²y.

Решение.

= 3х²+10ху, = 2у + 5х².

Следовательно, = 6х+10у, =2, = =10х.

В примере смешанные частные производные от функции z совпадают. Это не случайно, так как если производные и существуют в некоторой окрестности точки М и непре­рывны в самой точке М, то имеет место равенство

(М)= (М). (2.5.10)