2.1.5.Свойства функций

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из ко­торых (для построения и исследования графиков) относятся: чет­ность, нули, периодичность, монотонность, ограниченность функ­ции, наличие у функций асимптот и обратной функции. Рассмот­рим вкратце эти свойства функций.

Четные и нечетные функции. Функция y=f(x) называется чет­ной, если для любых двух различных значений аргумента из облас­ти ее определения выполняется равенство f(-x)=f(х). Например, у=х²ⁿ, (n – натуральное); у=x – четные функции. Сумма, разность, произведение и частное четных функций есть функция четная.

Функция называется нечетной, если для любого значения аргу­мента из области определения функции выполняется равенство f(–х) = –f(x). К нечетным функциям относятся, например, у=х²ⁿ⁺¹, где п – любое натуральное число, у=x/(x²+4) и т.д.

Не всякая функция является либо четной, либо нечетной. На­пример, функции у = х²+3х, у = (х + 1)² и т.д. называются амор­фными.

Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение и частное нечетных функций – функция четная.

График четной функции симметричен относительно оси ОY, а нечетной – относительно центра О.

Нули функции. Нулями функции f(x) называют те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль: f(х)=0. Гра­фически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Например, нулями функции у= (х–1)(х+2) будут корни уравнения у = 0, т.е. х = 1 и х = –2.

Периодические функции. Функция у=f(х) называется периоди­ческой, если существует число T такое, что для каждого значения аргумента х из области ее задания имеет место равенство f(x+ Т) = f(x). Число T называют периодом этой функции. Примеры перио­дических функций: y=sin(x); y=cos(x);

(для них Т=2); y=tg(x); y=ctg(x) (для них Т=).

Монотонные функции. Функция y=f(x) называется возрастаю­щей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если х₁< x₂ то f(x₁) <f(x₂).

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂).

Как возрастающие, так и убывающие функции называются мо­нотонными функциями.

Асимптоты. Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной фун­кции при стремлении аргумента к бесконечности или к некоторому числу а (случай вертикальной асимптоты). Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

Ограниченные функции. Функция f(х) называется ограничен­ной сверху (снизу), если существует такое число М, что для всех х из области определения f(x) < М (f(х) > М).

Функция называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для всех х из области определения |f(х)| < М.

Обратная функция и ее график. Дана функция y=f(x). Выра­зим х как некоторую функцию от у: х=(у), т.е. представим у как аргумент; х – как функцию. Тогда функция х=(у) называется об­ратной по отношению к функции у=f(x), если при подстановке её вместо аргумента f получаем тождественное равенство: y=f((y)). Равенство функций называется тождественным, если оно спра­ведливо при всех значениях аргумента из области определения.

Примеры:

1. Дана функция у = x/3 + 1. Разрешим ее относительно x. Функция х=3у – 3 будет обратной по отношению к функ­ции у.

2 . Дана функция у = x² (при х  0). х= –у – обратная функция.

Отметим, что область определения и область изменения функ­ции у=f(х) и функции, обратной к ней, меняются ролями. Всегда ли существует обратная функция? В этом случае имеет место следую­щая важная теорема.

Обратная функция существует при а  х  b, если функция f(х) монотонно возрастает или монотонно убывает в интервале [а, b].

Сложная функция. Функция, заданная в виде у=f(g(x)), назы­вается сложной или суперпозицией функций g и f. Сложную функцию часто записывают в виде у=f(u), где и = g(x). При этом аргумент х называют независимой переменной, а и – про­межуточным аргументом.

Неявная функция. Функция, заданная в виде уравнения F(x,y) = 0, не разрешенном относительно у, называется неявной функцией х.