2.1.2. Операции над множествами

Сумма множеств. Допустим, что нужно составить группу студентов, знающих английский или французский язык. Ясно, что в эту группу войдут те, кто знает английский язык, и те, кто знает французский язык. Конечно, в нее войдут и студенты, знающие оба языка.

Определение. Суммой двух множеств А и В называется мно­жество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые при­надлежат или множеству А, или множеству В (или обоим мно­жествам).

Обозначается сумма множеств двумя способами:

С = A  В или С = А + В.

Пример 2.1.1. Пусть А={1,2,5,8}, В={2, 4, 8, 10}. Тогда А В={1, 2, 4, 5, 8, 10}.

Пример 2.1.2. Пусть А={1, 4, 7, 9}. Какие элементы входят в сумму А  А?

Из определения следует, что в А  А входят те же самые числа, т, е. А  А =A.

Предлагаем читателю самостоятельно решить следующие за­дачи:

а) хА  В, следует ли отсюда, что хА?

б) хА, В — произвольное множество, следует ли отсюда что хА  B?

Операция сложения множеств обладает следующими свой­ствами:

1) А  В=В  А, или А+В=В+А (коммутативный закон);

2) А  (ВC)=(AВ) C, или А+(В+С)=(А+В)+С (ассо­циативный закон);

3) А  А=А, или А+А=А.

Эти свойства легко проверить исходя из определения суммы множеств.

Произведение множеств. Пусть А — множество букв, входящих в слово число, В — мно­жество букв, входящих в слово восемь. Поставим вопрос, какие буквы входят и в то и в другое слово? Это буквы о, с. Множество {о, с} состоит из тех букв, которые входят и в А, и в В. Множество, полученное таким образом из множеств А и В, называется пере­сечением множеств, или их произведением.

Определение. Произведением двух множеств А и В на­зывается множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и А и В.

Обозначается произведение множеств следующим образом:

С=АВ, или С=АВ.

Пример 2.1.3. Пусть А={1,2,5,8}, В={2, 4, 8, 10}, тогда АВ ={2,8}.

Пример 2.1.4. Пусть А={1,3,8,10}, В={2, 7}. Тогда АВ =, так как нет элементов, которые принадлежат одновременно множеству А и множеству В.

Задача. хА, следует ли отсюда, что х АВ +

Операция умножения множеств обладает следующими свой­ствами, которые легко доказать исходя из определения произведе­ния множеств:

1) AB=BA, или АВ=ВА (коммутативный закон);

2) А(ВС)=(АВ) С, или А(ВС)=(АВ)С (ассоциативный закон);

3) АА=А, или АА=А;

4) А(ВС)=(АВ)(АС), или А(В+С)= АВ + АС (дистрибутивный закон).

Подмножества. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент А является элементом В. Это записывается следующим образом: АВ.

Пример 2.1.5. Дано В={1,2,3,4,5}, А={1,3,4}. Очевидно, что А – подмножество множества В, так как каждый элемент А является элементом В.

Как вытекает из опреде­ления, само множество всегда является своим подмножеством, т. е. ВВ.

Имеем очевидное соотношение NZR. (Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, которое, в свою очередь, является подмножеством множества действительных чисел).

Разбиение множества. Разбиением множества М называется система его непустых подмножеств, обладающая следующими свойствами:

• сумма всех подмножеств этой системы равна множеству М;

• никакие два различных подмножества не содержат общих элементов.

Подмножества, составляющие разбиение множества М, обычно называют классами.

Пример 2.1.6. Множество студентов одного курса разбиваются на группы. При этом выполняются оба условия.

Пример 2.1.7. Множество натуральных чисел N можно разбить на два множества – четных и нечетных чисел.

Итак, при действиях с множествами можно менять порядок слагаемых и сомножителей, раскрывать скобки так же, как и при действиях с числами. Однако операции над мно­жествами имеют также такие свойства, которых нет у операций над числами, например АА=А и другие. Кроме того, у операций с числами есть свои, присущие им свойства. Об этом нужно помнить, производя операции над множествами. Делая то или иное преобразование, всегда следует обращать внимание на то, какие свойства операций с множествами при этом используются.

Пример 2.1.8. Упростить выражение (АВ)(АС), или (А+В)(А+С).

Раскрывая скобки и учитывая, что АА=А, имеем (А+В)(А+С)=А+АВ+АС+ВС. Но АВА, поэтому А+АВ=А. Аналогично А+АС=А. Окончательно получаем (А+В)(А+С)= А + ВС.

Пример 2.1.9. Даны три множества А, В, С. Известно, что А+В=А+С. Можно ли отсюда сделать вывод, что В=С?

В области чисел из равенства а+b=а+с следует равенство b=с. Для множеств это не так. Приведем пример. Пусть А={1,2,3,4}, В={1, 2, 5, 6}, С={3,5,6}. При этом АВ=АС={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Итак, А+В=А+С и в то же время В С.

Дополнение к множеству. Рассмотрим некоторую систему множеств А, В, С,... Множество I называется универсальным для этой системы, если каждое множество системы является под­множеством I, т. е. АI, ВI, СI,...

Пример 2.1.10. А ={2, 7, 11}, В={10, 8, 3, 5}, С — множество чет­ных чисел {2, 4, 6, 8,..., 2п,...}. За универсальное множество для данной системы из трех множеств можно принять множество всех натуральных чисел I =N.

Дополнением множества А называется множество, состоящее из тех и только тех элементов универсаль­ного множества, которые не входят в А, и обозначается Ā.

Пусть I — множество натуральных чисел, А— множество четных чисел. Тогда Ā — множество нечетных чисел.

Свойства дополнения:

1) АI=I, АI=A;

2) AĀ=I, A Ā =;

3) = A (дополнение к множеству Ā равно A);

4 ) AВ= Ā В, и AB= Ā В.