2.2.2. Свойства пределов.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при ).

4) (заменой х на можно добиться, чтобы аргумент стремился к 0)

или

2.2.3. Примеры.

Найти пределы функции:

2.2.1..

Так как , то числитель дроби стремиться к числу , а знаменатель – к числу . Следовательно, .

2.2.2.

Здесь числитель и знаменатель при стремятся к нулю (неопределенность вида 0/0). Нужно преобразовывать. Например, разложим на множители числитель и знаменатель. Получим . При дробь стремится к числу . Итак, .

Замечание: Пусть – числа, – может быть: число,

а). ;

б). (бесконечно малое);

в). (бесконечно большое);

г). или получим неопределенности, которые необходимо раскрыть для нахождения предела.

2.2.3. .

Здесь имеет место неопределённость вида . Умножим и разделим данное выражение на :

2.2.4. .

Это – неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на : .

2.2.5.

При и числитель, и знаменатель стремятся к нулю. Получаем неопределённость вида . Умножение на сопряженные дает опять неопределённость. Воспользуемся правилом Лопиталя.

Правило Лопиталя.

, где производные функций (См. раздел «2.3. Производные»).

, а . Таким образом получим

При нахождении пределов функций часто используются замечательные пределы:

Первый замечательный предел ;

Второй замечательный предел ;

(См. свойство пределов 4).

Используя замечательные пределы можно вывести следующие равенства:

; ; ; .

2.2.6. .

Преобразуем дробь , а . Воспользуемся первым замечательным пределом:

2.2.7. .

Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:

.

Таким образом, при данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель – к бесконечности. Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел, получим

.

Так как при , то .

Учитывая, что , находим .

2.2.8. .

Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на х:

и рассмотрим пределы в нуле числителя и знаменателя получившейся дроби:

;

.

В итоге получим .

Тема 2.3. Производная

2.3.1. Определение.

Производная функции – одно из фундаментальных понятий математического анализа, позволяющее решать широкий круг задач из различных областей научного знания. Такие, например, широко используемые понятия, как скорость и ускорение, на языке математики представляются с помощью производных.

В экономической теории и практике производная является темпом изменения анализируемой величины. Так, если рассматривается зависимость дохода от возможных объемов инвестирования, то производная покажет прирост доходов при изменении объемов инвестиций на единицу. В других задачах позволяет ответить на вопрос:

• В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин?

• Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?

• В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников?

Кроме того, аппарат производных используется для нахождения наилучших или оптимальных значений того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный объем выпуска, минимальные издержки и т.д.

Пусть и – значения аргумента, а и –соответствующие значения функции . Разность называется приращением аргумента, а разность – приращением функции на отрезке .

Производной от функции по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

, или (производная обозначается также ).

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, т.е. . Производная есть скорость изменения функции в точке х. Предельные величины в экономике (предельные затраты, предельная выручка, предельная прибыль, предельная полезность) – это производные соответствующих функций.

Отыскание производной называется дифференцированием функции.