1.2.2.4. Взаимосвязь математической модели ск-анализа с другими моделями

1.2.2.4.1. Взаимосвязь системной меры целесообразности информации со статистикой 2 и новая мера уровня системности предметной области

Статистика ² представляет собой сумму вероятностей совместного наблюдения признаков и объектов по всей корреляционной матрице или определенным ее подматрицам (т.е. сумму относительных отклонений частот совместного наблюдения признаков и объектов от среднего):

(3. 0)

где:

– N_ij – фактическое количество встреч i-го признака у объектов j-го класса;

– t – ожидаемое количество встреч i-го признака у объектов j-го класса.

(3. 0)

Отметим, что статистика ² математически связана с количеством информации в системе признаков о классе распознавания, в соответствии с системным обобщением формулы Харкевича для плотности информации (3.28)

(3. 0)

а именно из (3.58) и (3.59) получаем:

(3. 0)

Из (3.60) очевидно:

(3. 0)

Сравнивая выражения (3.57) и (3.61), видим, что числитель в выражении (3.57) под знаком суммы отличается от выражения (3.61) только тем, что в выражении (3.61) вместо значений N_ij и t взяты их логарифмы. Так как логарифм является монотонно возрастающей функцией аргумента, то введение логарифма не меняет общего характера поведения функции.

Фактически это означает, что:

(3. 0)

Если фактическая вероятность наблюдения i–го при­знака при предъявлении объекта j–го класса равна ожидаемой (средней), то наблюдение этого признака не несет никакой информации о принадлежности объекта к данному классу. Если же она выше средней – то это говорит в пользу того, что предъявлен объект данного класса, если же ниже – то другого.

Поэтому наличие статистической связи (информации) между признаками и классами распознавания, т.е. отличие вероятностей их совместных наблюдений от предсказываемого в соответствии со случайным нормальным распределением, приводит к увеличению фактической статистики ² по сравнению с теоретической величиной.

Из этого следует возможность использования в качестве количественной меры степени выраженности закономерностей в предметной области не матрицы абсолютных частот и меры ², а новой меры H, основанной на матрице информативностей и системном обобщении формулы Харкевича для количества информации:

(3. 0)

где:

– средняя информативность признаков по матрице информативностей.

Меру H в выражении (3.63) предлагается назвать обобщенным критерием сформированности модели Харкевича.

Значение данной меры показывает среднее отличие количества информации в факторах о будущих состояниях активного объекта управления от среднего количества информации в факторе (которое при больших выборках близко к 0). По своей математической форме эта мера сходна с мерами для значимости факторов и степени сформированности образов классов и коррелирует с объемом пространства классов и пространства атрибутов.

Описанная выше математическая модель обеспечивает инвариантность результатов ее синтеза относительно следующих параметров обучающей выборки: суммарное количество и порядок ввода анкет обучающей выборки; количество анкет обучающей выборки по каждому классу распознавания; суммарное количество признаков во всех анкетах обучающей выборки; суммарное количество признаков по эталонным описаниям различных классов распознавания; количество признаков и их порядок в отдельных анкетах обучающей выборки.

Это обеспечивает высокое качество решения задач системой распознавания на неполных и разнородных (в вышеперечисленных аспектах) данных как обучающей, так и распознаваемой выборки, т.е. при таких статистических характеристиках потоков этих данных, которые чаще всего и встречается на практике и которыми невозможно или очень сложно управлять.