Решение

В соответствии с теоремой об изменении кинетической энергии (7) будем иметь

,

где - элементарная работа движущей силы, - элементарная работа сил сопротивления движению. В установившемся режиме скорость v автомобиля постоянна и, следовательно, его кинетическая энергия не изменяется, т.е. . Это означает, что . Раскроем правую часть полученного равенства:

.

Здесь dS – элементарное перемещение автомобиля. Тогда мощность, передаваемая двигателем на оси ведущих колес, будет равна

.

Таким образом, при движении с постоянной скоростью по горизонтальной дороге двигатель автомобиля развивает постоянную мощность; соответственно, топливо в баке расходуется равномерно.

Задача

Стальной шарик сброшен с высоты H = 15 м без начальной скорости. Найти скорость шарика V в момент его удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

На шарик действует только сила тяжести, которая является потенциальной и ее потенциал явно от времени не зависит. Следовательно, в соответствии с (10), полная механическая энергия шарика при его движении будет постоянной

.

Так как в начальный момент времени шарик покоился и обладал только потенциальной энергией, то в момент удара о землю вся его начальная потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию

.

Отсюда следует, что . Результат решения этой задачи дает нам право утверждать, что скорость свободного падения тел не зависит от их массы.

4.5. Вопросы для проверки усвоения материала

1. Какие утверждения называют основными теоремами динамики? Сформулируйте эти утверждения.

2. Что называют количеством движения системы?

3. Что называют кинетическим моментом системы?

4. Что называют кинетической энергией системы?

5. Что называют полной механической энергией системы?

6. В чем состоит практическая ценность основных теорем динамики?

7. Какие утверждения называют законами сохранения? Как связаны законы сохранения с основными теоремами динамики?

8. Решите задачу о свободном падении стального шарика путем составления и интегрирования уравнения динамики. Сравните полученное решение с решением, приведенным в п. 4.4. Сделайте вывод.

5. Динамика твердого тела

5.1. Уравнения динамики свободного твердого тела

Динамика свободного твердого тела (рис. 17) описывается двумя векторными уравнениями:

, (1)

где - скорость центра масс твердого тела,

, (2)

где - кинетический момент тела относительно центра масс, J_C – тензор инерции тела в системе координат Cxyz, жестко связанной с твердым телом, - угловая скорость тела.

Напомним, что система координат O_aXYZ является абсолютной, а CXYZ – перемещается вместе с твердым телом таким образом, что ее оси CX, CY, CZ всегда параллельны соответствующим осям абсолютной системы координат. В координатной форме уравнение (1) будет иметь вид

, , , (3)

а уравнение (2)

,

, (4)

.

В уравнениях (4) J_x, J_y, J_z, J_xy, J_yz, J_xz – компоненты тензора инерции в системе координат Cxyz. Если оси этой системы координат являются главными осями инерции тела, т.е. , то уравнения (4) приобретают более простой вид

, , . (5)

Уравнения (5) называют динамическими уравнениями Эйлера.

Задача

В момент метания диска (рис. 18) его плоскость занимает горизонтальное положение, а центр диска находится на высоте h от поверхности Земли. Диску сообщена горизонтальная скорость V₀, а сам диск закручен с угловой скоростью ω₀, составляющей угол с его плоскостью. Считая диск тонкой однородной пластинкой, найти его движение. Влиянием воздуха пренебречь.