3.3. Моменты инерции относительно параллельных осей

Пусть известен момент инерции механической системы J_C относительно некоторой оси, проходящей через центр масс C. Тогда момент инерции системы относительно любой параллельной оси u может быть вычислен по формуле

, (1)

где d – расстояние между осями. Соотношение (1) называется теоремой Гюйгенса – Штейнера.

Задача

Задан тонкий однородный стержень (рис. 10). Вычислить момент инерции этого стержня относительно оси z, проходящей через его конец под прямым углом к стержню.

Решение

Из решения задачи п. 3.2. известен момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс . Тогда, в соответствии с (1), искомый момент инерции будет равен

.

3.4. Моменты инерции относительно осей, проходящих через одну и ту же точку

Пусть ось u проходит через начало системы декартовых координат Oxyz. Тогда момент инерции механической системы относительно оси u можно выразить соотношением

,

где , , - косинусы углов между направлением оси u (единичный вектор ) и координатными осями Ox, Oy, Oz; , , - осевые моменты инерции; , , - центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции характеризует инертность механической системы при ее вращении относительно соответствующей оси. Центробежные моменты инерции характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей. Значения осевых и центробежных моментов инерции механической системы изменяются при повороте системы координат Oxyz вокруг точки O в соответствии с формулами, определяющими симметрический тензор второго ранга⁴

. (2)

Тензор (2) называют тензором инерции системы для точки O.

Задача

Тонкий однородный стержень длины 2L и массы M прикреплен в центре O к вертикальной оси, образуя с ней угол α (рис.14). Вычислить моменты инерции стержня J_x, J_y и центробежный момент инерции J_xy . Оси координат показаны на рисунке.

Решение

Обозначим u – ось стержня, тогда - масса его элементарного участка. Для вычисления осевых и центробежного моментов инерции воспользуемся приведенными выше формулами, заменяя в них суммы интегралами:

, , .

Учитывая, что , , получим

,

,

3.5. Вопросы для проверки усвоения материала

1. Что называют центром масс механической системы? В каком случае динамика механической системы может быть представлена как динамика движения ее центра масс?

2. Что называют моментом инерции механической системы относительно оси? Что характеризует эта величина и в каких единицах измеряется?

3. Что называют полярным моментом инерции механической системы? Что можно сказать о полярном моменте инерции системы относительно центра ее масс?

4. Как вычислить момент инерции механической системы относительно параллельной оси, если известен момент инерции этой системы относительно оси, проходящей через ее центр масс?

5. В каком случае при вычислении инерционно-массовых характеристик механической системы дискретное суммирование заменяется интегралом?

6. Как вычисляются осевые моменты инерции механической системы? Что они характеризуют?

7. Как вычисляются центробежные моменты инерции механической системы? Что они характеризуют?

8. Что называют тензором инерции механической системы?