5.4. Вопросы для проверки усвоения материала

1. Какие основные теоремы используются для описания динамики твердого тела? Сформулируйте эти теоремы.

2. Сколько независимых скалярных уравнений требуется для описания динамики свободного твердого тела?

3. В каком случае динамика вращательного движения твердого тела будет описываться динамическими уравнениями Эйлера?

4. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Какие условия должны выполняться, чтобы динамические реакции опор были равны статическим реакциям?

6. Основы аналитической механики

6.1. Общее уравнение динамики. Принцип Даламбера – Лагранжа

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек , . Связи, наложенные на точки системы, будем считать удерживающими и идеальными⁶. Тогда динамика системы будет описываться уравнением

, (1)

где - равнодействующие активных сил, приложенных к точкам системы, - допускаемые связями виртуальные перемещения. Уравнение (1) называют общим уравнением динамики или принципом Даламбера – Лагранжа. Формулировка этого принципа следующая

• Истинное движение от всех кинематически возможных отличается тем, что для него и только для него в данный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю.

Это утверждение также называют дифференциальным вариационным принципом, так как в нем сравниваются вариации положений системы для произвольного фиксированного момента времени движения. Принцип Даламбера – Лагранжа занимает центральное место в механике; он является общим теоретическим основанием для большого числа утверждений, характеризующих движение различных механических систем под действием сил, например, основных теорем динамики.

Задача

Получить уравнение динамики шарика из задачи п. 2.3., рис. 7, используя принцип Даламбера – Лагранжа.

Решение

Выберем декартовую систему координат так, чтобы ось Ox была направлена вниз. Тогда уравнения связи будут иметь вид , . Виртуальные перемещения шарика вдоль координатных осей найдем из соотношений

, .

Общее уравнение динамики (1) в данном случае принимает вид

.

Подставив в него выражения для , а также , , и , получим

,

откуда, ввиду произвольности , следует уравнение динамики .

6.2. Уравнения Лагранжа II рода

Для голономной механической системы с идеальными удерживающими связями справедливы уравнения динамики в следующем виде

(2)

где T – кинетическая энергия системы, q_j – обобщенные координаты, Q_j – обобщенные силы⁷. Уравнения (2) широко используются при изучении движения систем с большим числом степеней свободы, так как позволяют получить замкнутую систему дифференциальных уравнений динамики, не принимая в расчет реакции связей.

Задача

Для плоского манипулятора (рис. 22) получить уравнения динамики. Момент инерции звена 1 – J₁, масса звена 2 – m₂, центр масс звена 2 находится в месте соединения звеньев 1 и 2. Момент, развиваемый двигателем первого звена – M, усилие, развиваемое приводом второго звена – P.