Решение

За начало отсчета O примем точку крепления нити к неподвижному основанию (рис. 7). Уравнение динамики шарика запишем в векторной форме

,

где T – сила натяжения нити. В проекциях на нормальное и тангенциальное направления это векторное уравнение будет равносильно двум скалярным уравнениям

, .

Учитывая, что , , получим

, .

Так как нить нерастяжима, шарик в направлении нормали n не перемещается и, следовательно, есть уравнение статического равновесия.

Тогда уравнением динамики шарика будет . Разделив правую и левую части этого уравнения на mL, получим

.

По условию задачи, , следовательно , и уравнение динамики для случая малых отклонений шарика от положения равновесия будет иметь вид

.

Таким образом, малые колебания шарика около положения равновесия описываются линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Найдем решение этого уравнения классическим методом. Характеристический полином , его корни , где . Соответственно, общее решение будет иметь вид

.

Константы интегрирования найдем, используя начальные условия , : , . Тогда закон движения шарика - гармонические колебания с амплитудой φ₀ , частотой ω и начальной фазой .

Задача

По горизонтальной плоскости без трения могут перемещаться два тела массой m₁ и m₂ (рис. 8). Тело массой m₁ связано с неподвижной стенкой пружиной, жесткость которой k₁, а с телом массы m₂ – пружиной жесткостью k₂. На тело массой m₁ действует горизонтальная сила , . В начальный момент времени система покоилась в состоянии равновесия. Найти уравнения движения тел.

Решение

Рассмотрим движение тел как движение их центров масс. Пусть перемещение центра масс первого тела - x₁, второго – x₂. На основании второй аксиомы динамики будем иметь

Так как начальные условия нулевые, движение системы двух тел будет определяться только возмущающей силой F. Найдем частное решение системы линейных дифференциальных уравнений динамики в следующем виде

, .

Подставив эти законы движения в уравнения динамики и, сократив на , получим уравнения для определения амплитуд a и b

.

Частное решение имеет смысл лишь для тех значений ω, для которых знаменатели полученных соотношений не равны нулю. Пусть . В этом случае , и , . То есть, при таком значении частоты ω изменения возмущающей силы F тело массы m₁, к которому приложена эта сила, остается неподвижным. Этот эффект называется антирезонансом. Эффект антирезонанса используют при конструировании динамических гасителей вибрации машин.

2.4. Вопросы для проверки усвоения материала

1. Что изучается в разделе динамика?

2. Сформулируйте аксиомы и принципы динамики.

3. Может ли силовое воздействие быть односторонним? Обоснуйте свой ответ, приведите примеры из практического опыта.

4. Что такое сила инерции материальной точки? Приведите примеры действия сил инерции из практического опыта.

5. Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики.

6. Почему статика является частным случаем динамики механической системы?

7. Запишите уравнение динамики материальной точки в векторной форме и в декартовых координатах.

8. Может ли динамика материальной точки описываться нелинейным дифференциальным уравнением?

9. Какие движения материальной точки называют колебаниями?

10. Чем отличаются свободные колебания от вынужденных?

11. Что такое затухающие колебания? Приведите примеры затухающих колебаний из практического опыта.