Решение

Составим уравнения динамики центра масс диска. Согласно (3), будем иметь

, , ,

где g – ускорение свободного падения. Интегрирование этих уравнений с учетом начальных условий , , , , дает закон движения центра масс

, , ,

траектория движения – парабола.

Рассмотрим вращение диска. Оси координат Cxyz направим таким образом, чтобы они были главными осями инерции (рис. 18). Тогда , , M – масса, R – радиус диска. Обозначая , , согласно (5) получим уравнения динамики вращения диска

, , .

Из последнего уравнения, с учетом , получим , т.е. проекция угловой скорости диска на ось Cz постоянна. Подставив в первое и второе уравнения, получим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Общее решение системы , . Произвольные постоянные C₁, C₂ определим, используя начальные условия , . Будем иметь , и , . Подставляя , окончательно получим

, , .

Таким образом, вектор угловой скорости диска равномерно вращается с частотой в системе координат Cxyz, жестко связанной с диском. Диск совершает регулярную прецессию в системе координат CXYZ, ось прецессии задает вектор кинетического момента диска .

5.2. Уравнения динамики плоского движения твердого тела

Пусть все точки тела движутся параллельно неподвижной плоскости O_aXY. Тогда уравнения динамики тела будут иметь вид

, , , (6)

, , . (7)

Последнее уравнение из (6) и первые два уравнения из (7) налагают ограничения на геометрию масс тела, внешние силы и частично на начальные условия, при которых плоское движение возможно. Остальные уравнения являются уравнениями динамики плоского движения твердого тела.

Задача

Тонкий однородный стержень приставлен одним концом к гладкой вертикальной стене, а другим концом опирается на гладкий горизонтальный пол (рис. 19). Стержень пришел в движение, когда он составлял угол α с вертикалью. Вычислить начальные давления стержня на стену и пол.

Решение

Стержень движется под действием силы тяжести , а также реакций и стены и пола. Пусть L – длина стержня, X, Y – координаты его центра тяжести в неподвижной системе координат. Дифференциальные уравнения динамики стержня, в соответствии с (6), (7), имеют вид

, , .

Так как , ; , , то из первых двух уравнений динамики стержня имеем

, .

Подставляя эти выражения в третье уравнение динамики и, учитывая, что , , получим при t = 0

.

Следовательно, искомые начальные значения сил давления стержня на стену и пол , .

5.3. Уравнения динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг оси Z (рис. 20). Его уравнения динамики имеют вид

, , , (8)

, , . (9)

Последнее уравнение из (9) является уравнением динамики вращения тела вокруг вертикальной оси. Остальные уравнения служат для нахождения реакций , в опорах O и O₁.

Задача

Равнобедренный прямоугольный треугольник OO₁A вращается вокруг вертикальной оси, к которой подвешен катетом OO₁ = a (рис. 21). Какова должна быть угловая скорость вращения, чтобы боковое давление треугольника на нижнюю опору O было равно нулю? Треугольник считать тонкой однородной пластинкой.

Решение

Положение центра тяжести пластинки , , центробежный момент инерции , а для J_yz имеем

.

Далее, , , , .

По условию задачи ; из (8) и (9) получим

, , ,

, , .

Из последнего уравнения следует, что треугольник вращается с постоянной скоростью . Исключив из второго и четвертого уравнений величину F_1y, получим, что боковое давление треугольника на нижнюю опору O равно нулю при .