4.3. Теорема об изменении кинетического момента

• Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил относительно этого центра.

(5)

В уравнении (5) - кинетический момент (момент количества движения) относительно неподвижной точки O, - главный момент внешних сил относительно точки O. В интегральной форме уравнение (5) имеет вид

, (6)

где - кинетический момент механической системы в момент времени t₁, - кинетический момент системы в момент времени t₂.

Задача

Для экспериментального определения момента трения в подшипниковых опорах на вал насажен маховик массы M = 500 кг (Рис. 16); радиус инерции маховика ρ = 1.5 м. Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая частоте вращения n = 240 об/мин; предоставленный самому себе, он остановился через 10 мин. Определить момент трения M_T, считая его постоянным.

Решение

Вычислим угловую скорость вращения вала в начальный момент времени и момент инерции маховика относительно оси вращения: рад/с, кг·м². Уравнение динамики маховика, согласно (5) и с учетом , имеет вид

.

Проинтегрируем это уравнение по времени t

,

где C – постоянная интегрирования, значение которой, в соответствии с начальным условием , равно ω₀. Так как через T = 600 с маховик остановился, то , откуда

Н·м.

Задача

На вращающейся платформе стоит человек с вытянутыми в стороны руками. Платформе сообщается угловая скорость, соответствующая частоте вращения n₀ = 15 об/мин. При этом момент инерции человека и платформы относительно оси вращения J₀ = 0.8 кг·м². С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит момент инерции системы до 0.12 кг·м²? Трением пренебречь.

Решение

Определим угловую скорость системы в начальный момент времени: рад/с. Проанализируем силы, действующие на систему. На человека и платформу действуют только силы тяжести, которые направлены вдоль оси вращения и, следовательно, моменты сил тяжести относительно этой оси равны нулю. Таким образом, уравнение (5) будет иметь вид

,

где Z – ось вращения. Первый интеграл этого уравнения , т.е. кинетический момент системы относительно оси Z не изменяется. Из этого следует и

рад/с,

что соответствует частоте вращения об/мин.

4.4. Теорема об изменении кинетической энергии

• Дифференциал кинетической энергии механической системы равен элементарной работе всех сил, приложенных к системе⁵.

(7)

В уравнении (7) - кинетическая энергия механической системы, - элементарная работа внешних сил, - элементарная работа внутренних сил.

Проинтегрировав обе части равенства (7) от t₁ до t₂ получим интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии

. (8)

Если все силы системы потенциальны и их потенциал Π не зависит явно от времени, то элементарная работа сил системы будет полным дифференциалом и уравнение (7) примет вид

. (9)

Из равенства (9) следует закон сохранения полной механической энергии системы

. (10)

• Если все силы системы потенциальны и потенциал явно не зависит от времени, то при движении системы ее полная механическая энергия постоянна.

Задача

Автомобиль массы M движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v . Коэффициент трения качения между колесами автомобиля и дорогой равен f_k, радиус колес – r, сила аэродинамического сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: , где μ – коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся режиме.