2. Особенности интегрирования нелинейных уравнений динамики

Решение задач в ряде случаев приводит к необходимости интегрировать нелинейные дифференциальные уравнения динамики. Напомним, что линейными называются такие дифференциальные уравнения (ДУ), которые можно записать в виде

,

где , , в общем случае являются функциями t.

Известно, что линейное ДУ всегда имеет аналитическое решение, которое может быть получено классическим методом или с использованием операционного исчисления. Нелинейные ДУ также могут быть решены аналитически в тех случаях, когда удается разделить переменные в уравнении.

В остальных случаях эти уравнения интегрируются с использованием численных методов. Наиболее частой ошибкой студентов при решении задач является попытка решить нелинейное уравнение динамики методом, пригодным только для линейных уравнений. Поэтому цель данного параграфа состоит в том, чтобы напомнить читателю, как следует поступать при интегрировании нелинейных уравнений динамики.

Задача

Материальная точка массой m движется в сплошной среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости точки. Коэффициент пропорциональности равен μ. Найти закон движения точки, если в момент времени t = 0 она имела скорость V.

Решение

Направим ось x по направлению вектора скорости материальной точки C (рис. 5). За начало отсчета O примем положение точки в момент времени t = 0. Сила сопротивления F_c , действующая на точку, направлена в сторону, обратную движению точки и равна по абсолютной величине .

Уравнение динамики точки будет иметь вид . Поделив обе части уравнения на массу точки m, получим

.

Данное уравнение нелинейное, так как содержит . Найдем общий интеграл этого уравнения, выполнив разделение переменных. Для этого запишем его в следующем виде

,

где . Умножив обе части уравнения на dt, получим , а затем, поделив обе части на , будем иметь

.

Интегрируя равенство, получим

,

откуда . Учитывая, что , получим . Проинтегрировав это равенство, будем иметь

.

Вычислим постоянные интегрирования, воспользовавшись начальными условиями , : , . Таким образом, уравнение движения точки будет иметь вид

.

График функции x(t) при значениях m = 1 кг, μ = 0.1 Н·с²/м², V = 0.5 м/с изображен на рис. 6.

x(t), м

t, c

Рис. 6

x

x^*

Для сравнения приведен график , соответствующий движению материальной точки в условиях отсутствия сопротивления.

2.3. Колебания материальной точки

Колебаниями материальной точки называются ее периодически повторяющиеся движения, возникающие в результате действия восстанавливающей силы (свободные колебания) или под действием возмущающей силы, изменяющейся по периодическому закону (вынужденные колебания). В качестве восстанавливающих сил могут действовать силы упругости пружин, силы гравитационного и электрического взаимодействия. Колебательные движения имеют принципиальное значение в технике и изучаются в специальном разделе теоретической механики – теории колебаний.

• Гармоническими называются колебания материальной точки, соответствующие закону , где A, м – амплитуда колебаний (наибольшее отклонение точки от состояния равновесия), ω, рад/с – круговая частота, φ, рад – начальная фаза колебаний.

• Периодом колебаний называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки через положение равновесия в определенном фиксированном направлении. Период гармонических колебаний вычисляется по соотношению .

• Затухающими называются колебания материальной точки, соответствующие закону , где 0 < h < ω, β – начальная фаза затухающих колебаний. Затухающие колебания имеют место тогда, когда кроме восстанавливающей силы на точку действует сила сопротивления движению, пропорциональная скорости точки (например, вязкое трение).

• Декрементом затухающих колебаний называется величина , логарифмическим декрементом затухающих колебаний – величина . В обоих равенствах - период затухающих колебаний. Эти понятия используются в задачах экспериментального определения коэффициента сопротивления вязкой среды.

Задача

Стальной шарик массы m подвешен на тонкой, нерастяжимой нити длины L. На шарик действует сила тяжести G. Определить закон движения шарика, если в начальный момент времени он был отклонен на малый угол φ₀ от положения равновесия и имел нулевую скорость. Силами трения пренебречь.