3. Геометрия масс

3.1. Центр масс механической системы

Центром масс механической системы из N материальных точек называют такую геометрическую точку C, положение которой определяется равенством

,

где - массы, - радиус-векторы положений материальных точек механической системы; - масса всей механической системы. Если механическая система движется поступательно, то ее динамика может быть математически описана как динамика движения центра масс с сосредоточенной в нем массой всей системы. Центр масс системы называют также ее центром инерции.

Задача

Найти уравнения движения центра масс шарнирного четырехзвенного механизма OABO₁, если кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью ω. Звенья механизма – однородные стержни, причем .

Решение

Так как стержни однородные, то их центры масс C₁, C₂, C₃ будут находиться посередине каждого из стержней (рис. 9). Определим радиус-векторы этих центров масс

, , .

Радиус-вектор центра масс C механизма найдем с учетом того, что масса звена AB вдвое больше масс двух остальных подвижных звеньев: ,

.

Следовательно, искомые уравнения движения центра масс механизма имеют вид , .

3.2. Момент инерции механической системы относительно оси

Моментом инерции механической системы относительно некоторой оси u называют скалярную, положительную величину, определяемую соотношением

,

где ρ_υ – расстояния от соответствующих материальных точек системы до оси u. Момент инерции характеризует инерцию вращения механической системы вокруг данной оси и измеряется в кг·м².

Полярным моментом инерции относительно точки O называется величина

,

где - радиус-векторы соответствующих материальных точек системы.

Задача

Показать, что центр масс механической системы можно определить как точку пространства, для которой полярный момент инерции наименьший.

Решение

Пусть центр масс C и точка O не совпадают. Тогда полярный момент инерции системы относительно центра масс определится соотношением .

Так как величина положительна, то во всех случаях, кроме случая, когда (точка C совпадает с точкой O). Иначе говоря, полярный момент инерции системы относительно центра масс всегда меньше, чем момент инерции относительно любой другой точки пространства. Что и требовалось показать.

Задача

Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня длины L и массы M относительно оси u, проходящей через середину стержня под прямым углом (рис. 10).

Решение

Начало отсчета O длины стержня обозначим в точке пересечения оси u со стержнем. За направление отсчета длины примем ось x (рис. 11). Пусть dx – элементарный участок стержня. Масса этого элементарного участка , где - плотность распределения массы по длине стержня. Момент инерции стержня вычислим, учитывая непрерывность распределения массы и переходя от суммы к интегралу

.

Задача

В тонком однородном круглом диске радиуса R высверлено концентрическое отверстие радиуса r (рис. 12). Вычислить момент инерции этого диска массы M относительно оси z, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска.

Решение

Примем за элементарный участок диска кольцо радиуса ρ и ширины dρ (рис. 13). Площадь этого кольца будет равна . Пренебрегая слагаемым второго порядка малости , получим . Тогда масса элементарного кольца , где - плотность распределения массы по поверхности диска. Вычислим момент инерции диска относительно оси z:

.

В случае, когда r = R (диск представляет собой тонкое кольцо радиуса R) момент инерции будет иметь максимальное значение . Поэтому, при конструировании маховиков³, большую часть их массы стремятся разместить как можно дальше от оси вращения.