1.3. Спин в нерелятивистской квантовой механике

Спин (от английского to spin – вращаться) s есть собственный момент количества движения частицы, не связанный с ее движением в трехмерном пространстве. Гипотеза о спине электрона была выдвинута голландскими физиками Дж. Уленбеком и С. Гаудсмитом в 1925 г. для объяснения мультиплетности спектров излучения атомов. Спин электрона является свойством одновременно квантовым и релятивистским, не имеющим аналогов в классической физике.

Нерелятивистская квантовая механика не может дать объяснение происхождения спина, его существование и свойства принимаются как экспериментальный факт. Спин следует считать внутренним неотъемлемым свойством электрона, присущим ему в такой же мере, как и масса и заряд. Представления классической физики о спине как о моменте, связанном с вращением электрона вокруг своей оси являются несостоятельными. Расчеты в рамках такой модели дают величину отношения магнитного момента к механическому e/(2m_ec) в два раза меньшую определенной экспериментально; кроме того, для получения наблюдаемого момента, точки на поверхности электрона должны бы двигаться со сверхсветовой скоростью ~10¹¹ м/с.

ВФ частицы со спином. При использовании нерелятивистского УШ спин частицы вводится как результат наличия четвертой дополнительной и независимой внутренней степени свободы, называемой спиновой. ВФ обладающей спином частицы должна, очевидно, зависеть не только от пространственных, но и от дополнительных переменных, определяющих спин. Так как проекция спина электрона s_z на выделенную ось может принимать два значения: +/2 и –/2, его состояние описывается координатной ВФ (r) и заданием компоненты спина s_z, которая определяется спиновой переменной s_z/=m_s. ВФ электрона при учете зависимости от спина – величины, имеющей два СЗ, - становится «векторной» функцией с двумя компонентами {__}.

Оператор спина . В соответствии с общим принципом квантовой механики спину сопоставляется векторный оператор  с компонентами по осям координат _x, _y, _z.Он действует на спиновую переменную и в стандартной форме имеет вид:

_x = 0 1 _y = 0 –i _z = 1 0 .

1 0 i 0 0 -1

Эти, так называемые спиновые операторы Паули или матрицы Паули, удовлетворяют соотношениям, подобным соотношениям для оператора момента импульса:

_x²+_y²+_z²=1; _i_j_j_i0; [²_i]=0; i, j = x, ,y, z;

_x_yi_z, _y_zi_x, _z_x=i_y, [_x_y]i_z, [_y_z]i_x, [_z_x]=2i_y.

СЗ спинового оператора. Отсюда следует, что определенные значения в одном и том же состоянии могут иметь квадрат спинового момента ^ и одна из его проекций _i на координатные оси.

Вектор s=/2 является собственным моментом импульса электрона, СЗ s_x, s_y, s_z равны /2, s²= ²²/4 = ²(1/2)(1/2+1) = 3²/4.

СФ оператора s_z обозначаются как (m_s). Спиновые части ВФ для спина s=1/2, описывающие отдельные электроны, имеют вид:

(1/2) =  = 1 , (-1/2) =  = 0

0 1 .

Таким образом, величина спинового момента определяется спиновым квантовым числом s по формуле M=[(s(s+1)]^1/2. Для электрона s=1/2 и M=(3/2)^1/2; величина проекции спинового момента на выделенное направление определяется спиновым магнитным квантовым числом m_s, которое для электрона может принимать два значения: +1/2 и –1/2 (рис. 1.3,в).

Общий случай частицы со спином s. ВФ, описывающая состояние такой частицы, должна зависеть от (2s+1) компонент спина. Если гамильтониан сильно связывает пространственное и спиновое движения, то для характеристики такой частицы потребуется (2s+1) функций пространственных и спиновых координат (r,m_s), образующих столбец. Если же указанной связью можно пренебречь, то ВФ представляется в виде произведения (r,m_s) = (r)·(m_s).

Сложение векторов орбитального и спинового моментов количества движения электрона осуществляется по правилам векторного сложения, при этом образуется вектор полного момента количества движения электрона j=l+s. Проекция j на избранное направление может принимать значения m_j, m_j= m_l+m_s=m_l±1/2 называется квантовым числом проекции полного момента. Проекция полного момента на избранное направление может принимать значения m_j, где m_j=m_l+m_s= m_l±1/2 – квантовое число проекции полного момента.

Из перестановочных соотношений операторов проекций полного спина следует, что определенные значения в одном и том же состоянии могут иметь j² и одна проекций j_i, при этом абсолютная величина j² равна [(j(j+1)], где j – максимальное значение, которое может принимать m_j. Поскольку j есть максимальное значение числа m_j, а l – максимальное значение числа m_l, то из соотношения m_j = m_l±1/2 следует j=l±1/2. При заданном j возможно 2j+1 квантовых состояний, отличающихся значениями m_j: m_j=-j, -j+1, …, j.

Спин в релятивистской квантовой механике. Наличие спина у электрона и его свойства выводится из волнового уравнения П. Дирака (Paul Dirac, 1928 г.), являющегося релятивистским обобщением уравнения Шредингера.