Добавил:

spbguap9 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»

Предмет:

Добыча нефти и газа

Файл:

гидромеханика нефти

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.01.2021

Размер:

21 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

295

Из равенства (15.65) имеем

ρ 1

ρ 2

Подставив эти выражения в соотношение (15.66), получаем

m(v2

− v1) =

ρ 1

ρ 2

p 1

−

(15.78)

ρ 2

ρ 1 v1

ρ 2 v2

Исключая с помощью равенств (15.67) величины

из форму-

ρ 1

ρ 2

лы (15.78), после элементарных преобразований получим

v1v2 =

(15.79)

k +

ρ 0

или с учетом формулы (15.35) –

v1v2

= aкр2

(15.80)

Соотношение (15.80), связывающее значения скорости до и после пря-

мого скачка, называется соотношением или формулой Прандтля.

Формулу Прандтля можно представить в виде

λ 1λ 2 = 1 .

(15.81)

aкр

Из соотношения (15.81) следует, что формально возможны случаи:

1) λ 1 > 1, λ 2 <

2) λ 1 = λ 2 ;

3) λ 1 < 1, λ 2 >

В соответствии с уравнением неразрывности (15.65) и формулой (15.80)

имеем

ρ 2

v12

= λ 12 .

(15.82)

v v

кр

< 1,

Случай 3) соответствует условию

ρ 12

то есть скачку разрежения,

что, как было показано, невозможно. Случай 2) означает, что ρ 1 =

ρ 2 – нет

> 1 ,

скачка. Случай 1)

соответствует условию

ρ 12

то есть ударной волне

сжатия.

Условия λ 1 > 1,

λ 2 <

1 означают, что перед скачком течение сверхзву-

ковое, а позади скачка – дозвуковое.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

296

ГЛАВА XV

Итак, скачки уплотнения (прямые ударные волны) могут возникать толь- ко в сверхзвуковом потоке. При прохождении через прямую ударную волну сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой. Обратное невозможно.

Рассмотрим, как меняются параметры газа при его прохождении через прямой скачок уплотнения.

Из условия адиабатичности процесса следует, что температура тор- можения до скачка T01 равна температуре торможения после скачка T02 ,

то есть

T01

= T02

= T0 .

(15.83)

Следовательно,

a01

kRT01

a02

kRT02 = a0 .

Для определения изменения давления воспользуемся адиабатой Гю-

гонио (15.71) и формулой (15.82). Тогда

∆ p

p2 − p1

k +

ρ 2

−

λ 12

− 1

k − 1 ρ 1

−

1 =

k +

ρ 2

− 1 =

k + 1 −

(k − 1)λ 12

.(15.84)

k −

1 −

ρ 1

Заменяя в формуле (15.84) λ 1 с помощью соотношения (15.42), имеем

∆

(M12

− 1) .

(15.85)

k +

будет

∆ p

→

При M → ∞ или λ →

k +

∞ .

k −

Изменение плотности, как это следует из формулы (15.82), равно

∆ ρ

ρ 2 − ρ 1

= λ 12 − 1.

ρ 1

Для определения изменения температуры воспользуемся соотношения- ми (15.43) и (15.83). Тогда, с учетом формулы Прандтля (15.81), получим

k −

1 1

τ (λ )

1 −

−

λ 22

1 −

T T T

k + 1

λ 2

= T0

T1 =

τ (λ 1)

k −

k − 1

2 .

1 −

k +

При λ 1 →

k +

1 , то есть при v →

vmax ,

→

∞

. Однако это не оз-

k −

начает, что T2 →

∞ , так как при v →

vmax T1 →

0 . Поскольку при прохож-

дении газа через ударную волну энтропия возрастает, этот процесс сопро-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

297

вождается изменением давления торможения. Так как температура тормо- жения при этом сохраняется, то в соответствии с уравнением состояния Менделеева–Клапейрона

p02

p01

ρ 02

ρ 01

ρ 02

ρ 2

ρ 1

σ =

p02

ρ 2 ρ 1

p01

ρ 01

На основании формул (15.44), (15.81), (15.82) последнее равенство мож- но представить в виде

												1
								k −	1				k− 1
		2 ε (λ 1)				1	−	k −	1	λ	2
σ =	λ	2 ε (λ 1)		= λ	2	1	−	2		λ	1
		1	ε (λ 2)		1							.		(15.86)
		1	ε (λ 2)		1	1	−	k −	1 1			.		(15.86)
						1	−	2		λ	2
								2		λ	1
Из формулы (15.86) видно,					что			при			λ 1 > 1 всегда			σ < 1, то

есть p02 < p01 . Следовательно, механическая энергия необратимо перехо- дит в тепло, как это и должно быть при росте энтропии.

Косой скачок уплотнения
При изменении направления пото-
ка газа, например, при обтекании клина
(рис. 15.11), образуются так называе-
мые косые скачки уплотнения. Фронт
таких скачков расположен наклонно по
отношению к направлению набегающе-
го потока. В этом случае массовый рас-
ход через единицу площади фронтовой
поверхности ОА, очевидно, равен
ρ 1vn1 = ρ 2vn2 = m,	(15.87)
где vn1, vn2 – проекции скорости на нор-			Рис. 15.11
маль к плоскости скачка.			Рис. 15.11
маль к плоскости скачка.
Закон изменения количества движения (2.54) запишем в виде
			− p2) ,
m(v2 −	v1) =	n( p1	− p2) ,	(15.88)

где n – единичный вектор нормали к ОА.

Закон сохранения энергии сохраняет свой вид (15.67).

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

298	ГЛАВА XV
Проектируя уравнение (15.88) на плоскость скачка ОА и на нормаль
к ней, имеем
v2τ − v1τ = 0, m (v2n − v1n) = p1 − p2 ,	(15.89)

где v1τ , v2τ – проекции скорости на плоскость скачка.

Из первого равенства (15.89) следует, что при переходе через плос- кость скачка касательная составляющая скорости vτ не терпит разрыва, то есть

v1τ = v2τ = vτ .

Так как	= v2n	+ v2			= v2n	+ v2
v2	= v2n	+ v2	,	v2	= v2n	+ v2	,
1	1	τ		2	2	τ

то, подставляя эти соотношения в закон сохранения энергии (15.67), полу- чим

k − 1

v1n

v2n

−

vτ

−

. (15.90)

vτ

k −

1 ρ 1

ρ 2

k −

1 ρ 0

ρ 0

2 k − 1

2 k −

Сравнивая между собой группы уравнений (15.65),

(15.66),

(15.67)

и (15.87), (15.89) и (15.90) видим, что эти системы уравнений совпадают между собой, если в уравнениях для прямого скачка (15.65), (15.66), (15.67) заменить скорости v1, v2 , соответственно, на v1n, v2n , а величину

k p0

−

k − 1 2

на

vτ

Следовательно,

все формулы, получен-

k −

1 ρ

k −

ные для прямого скачка, остаются в силе, если в них произвести указанную замену.

Адиабата Гюгонио, то есть формулы (15.71) и (15.72), сохраняет свой вид, так как эти формулы не содержат скоростей. Формула Прандтля (15.80)

с учетом равенств (15.79) и (15.89) принимает вид

−

k − 1 2

k −

v1nv2n

vτ

aкр −

vτ .

(15.91)

k +

ρ 0

k +

Анализ формулы (15.91) показывает, что на косом скачке всегда v1 > v2 , но могут реализовываться случаи v1 > aкр, v2 > aкр . Таким образом, в от-

личие от прямого скачка, скорость за косым скачком может оставать-

ся сверхзвуковой. Формула (15.85)

для косого скачка принимает вид

(см. рис. 15.11)

∆ p

v1n

−

sin

−

(M1

sin

β − 1) ,

k + 1

k +

то есть изменение давления на косом скачке меньше, чем на прямом. Чем меньше β , тем слабее скачок.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

299

§9. Расчет газового эжектора

Вгазовых эжекторах используется свойство струи газа, движущейся

вгазовой среде, увлекать за собой частицы этой среды. Таким образом, га- зовый эжектор представляет своего рода насос и находит широкое примене- ние в технике. В эжекторах поток с большей скоростью (активный газ) и поток с меньшей скоростью (пассивный газ) вводятся через отдельные входные сопла в смесительную камеру. Смешение происходит до тех пор, пока в конце смесительной камеры поток не становится практически одно- родным. Из смесительной камеры поток попадает в выходной диффузор. В простейших случаях активный и пассивный газы представляют собой одно и то же (или практически одно и то же) вещество. В других случаях оба га- зовых потока могут иметь различные физико-химические свойства. Разли- чие в химической природе газов может приводить при смешении потоков к химическим реакциям, например, к горению. Эжектор (рис. 15.12) состоит из четырех основных элементов: сопла 1 для газа высокого давления (ак- тивного газа), сопла 2 для газа низкого давления (пассивного газа), камеры смешения 3, диффузора 4.

Вдальнейшем отмечены ин-

дексами: 1 – параметры активного
газа на выходе из сопла, 2 – пас-
сивного газа в том же сечении, 3 –
параметры смеси на выходе из
камеры смешения. Индексом 0,
как и раньше, обозначаются па-
раметры торможения в рассмат-	Рис. 15.12

риваемых сечениях.

При истечении высоконапорной струи из сопла 1 во входном сечении камеры смешения устанавливается давление p2 , которое всегда ниже дав- ления торможения низконапорного газа p02 . Под действием разности этих давлений низконапорный газ втекает через сопло 2 в камеру смешения. Соотношение массовых расходов эжектирующего Qm1 и эжектируемого Qm2 газов зависит от соотношения площадей сопел, плотностей газов, ре- жима работы эжектора. Выбором геометрических размеров эжектора ко- эффициент эжекции n ,

n =	Qm2	,	(15.92)
	Qm1

можно варьировать в широких пределах.

Закон сохранения массы в рассматриваемом случае имеет, очевидно, вид

Qm3 = Qm1 + Qm2 ,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

300											ГЛАВА XV
или, в соответствии с формулой (15.92),
				Qm3	= 1 +	n.					(15.93)
					= 1 +	n.					(15.93)
				Qm1
Закон сохранения энергии при пренебрежении теплопередачей через
стенки эжектора можно записать в виде
	v2					v2	=		+	v2
	1					2				0	. (15.94)
Qm1 cp1T1 +	2	+	Qm2 cp2T2 +			2		Qm3 cp3T3		2	. (15.94)
	2					2				2

Будем здесь и далее считать, что термодинамические параметры ак- тивного и пассивного газов, а значит и их смеси, имеют одинаковые значе-

ния, то есть Òp1 = cp2 = cp3, k1=

k=2

k3 . Тогда,

переходя в уравнении

(15.94) к температурам торможения, получаем

Qm1T01 +

Qm2T02 = Qm3T03 .

(15.95)

С учетом равенств (15.92) и (15.93) уравнение (15.95) можно предста-

вить в виде

(1 +

n)T03 .

T01 + nT02

(15.96)

Введем обозначение

T02

= θ .

T01

Тогда

a2кр

T02 =

(15.97)

a1кр

T01

и в соответствии с формулой (15.96)

a3кр

T03

1 +

nθ

(15.98)

1 +

a1кр

T01

Закон изменения количества движения при пренебрежении трением о стенки цилиндрической камеры смешения можно представить в виде

Qm3v3 − Qm1v1 −

Qm2v2

p1S1 +

p2S2

−

p3S3 .

(15.99)

Рассмотрим выражение

Qmv +

pS =

Qm v

ρ v

Используя соотношения (15.1), (15.32), (15.35), (15.43), имеем

= RT = RT0τ (λ ) =

k + 1

−

k −

v = aкрλ .

aкр

k +

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

301

Тогда

Qmv +

pS =

k +

Qmaкр

(15.100)

Из формул (15.99) и (15.100) следует, что

Qm1a1кр λ

Qm2a2кр

Qm3a3кр

λ 1

λ 2

λ 3

Разделив это равенство на Qm1a1кр , и учитывая формулы (15.92), (15.93),

(15.97), (15.98), имеем

λ 1 +

2 +

(1 +

)(

θ)

. (15.101)

λ 1

λ 2

λ 3

Второе уравнение, которое наряду с равенством (15.101) является ос- новным в расчете эжектора, получим из условия цилиндричности камеры

смешения, то есть соотношения
		S3 =	S1 +	S2 .			(15.102)
В соответствии с формулой (15.62) массовый расход газа Qm равен
				2		k+ 1
		p S				k− 1
Qm	=	0	k		q(λ ) .		(15.103)
		RT0
			k + 1

Выразив из этого соотношения площадь S и подставив результат в равенство (15.102), с учетом формул (15.92), (15.93), (15.97) и (15.98)

получим
	(1 + n)(1 + nθ)		1			n θ
	p03 q(λ 3)	=	p01 q(λ 1) +			p02 q(λ 2)	.	(15.104)
Из формул (15.92), (15.97) и (15.103) следует, что
	n = α	1	p02	q(λ 2)	,			(15.105)
	n = α	θ	p01	q(λ 1)	,			(15.105)

где α = S1 .

Пять соотношений (15.97), (15.98), (15.101), (15.104) и (15.105) содер-

жат 12 величин: p01, p02, p03,T01,T02,T03, λ 1, λ 2, λ 3, n,α ,θ . Таким образом, если задать параметры потоков на входе в камеру смешения, то есть вели- чины p01, p02,T01,T02, λ 1, λ 2 и, кроме того, задать значение n (или α ), то указанные формулы позволят определить параметры смеси на выходе из

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

302	ГЛАВА XV
камеры смешения, то есть величины	p03,T03, λ 3 , а также значения θ и α

(или n ). По параметрам потока на выходе из камеры смешения можно вы- числить параметры потока на выходе из диффузора. Для этого необходимо знать отношение выходной и входной площадей сечений диффузора

β=

σ=

или

S4 и коэффициент потери давления торможения в диффузоре

p04	.
	.
p03
Так как T04 = T03 , то из условия Qm3 = Qm4					и формулы (15.103) имеем
	p04S4q(λ 4) =		p0S3q( λ 3) ,
	q(λ 4) =	1		q(λ 3) .

		βσ

Определив из этого соотношения величину λ 4 и зная p04,T04 , можно

определить все остальные параметры потока на выходе из диффузора.

§10. Установившиеся движения газа в трубах*

Для вывода уравнений, описывающих установившиеся движения газа по трубам, воспользуемся законом изменения кинетической энергии (2.75), то есть

∂

ρ v

∫ ∂

t 2

∫

dV +

vndS = ρ F v dV +

pnv dS +

где в соответствии с формулой (4.43)

ρ Ni = pdiv v − W .

Произведение pn v можно представить как

pnv =	(− pn + τ n) v = − pvn + τ * .

∫ ρ Ni dV ,(15.106)

(15.107)

(15.108)

Величины W и τ * представляют собой члены, обусловленные вязко- стью газа, или, что то же самое, трением. Подставив равенства (15.107) и (15.108) в уравнение (15.106) и учитывая, что в соответствии с теоремой

Гаусса–Остроградского
получим	∫ pvndS =
	∫ pvndS =	∫ div pv dV ,
	S	V
___________________

* В этом параграфе для удобства читателя частично повторяются рассуждения и преобразования соотноше- ний, которые были приведены в главе XI.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

303

	∂		ρ v2

∫ ∂			2	dV +
∫ ∂		t	2
V

где

∫ ρ v2 vndS =

dA = dt

	− div pv	+	p div v) dV −	dA
∫ (ρ Fv	− div pv	+	p div v) dV −	dt , (15.109)

V

∫W dV − ∫τ *dS

V S

– мощность сил трения.

Введем функцию

или

p .

Тогда

p div v −

div pv =

−

p =

− ρ v Ρ ,

и уравнение (15.109) можно представить в виде

∂ ρ v

∫ ∂ t 2

∫

(ρ Fv − ρ v Ρ ) dV −

vndS =

(15.110)

dA . (15.111) dt

Введем следующие предположения:
1) движение установившееся, то есть
				∂	≡	0,	div ρ v =

				∂ t				=

2) массовая сила обладает потенциалом, F
На основании этих предположений
(F − Ρ )ρ v =	(Π − Ρ ) ρ v =				( Π	− Ρ)	ρ v + ( Π


и уравнение (15.111) принимает вид
	∫ ρ	v2	vndS =			∫ div[ρ (Π −		Ρ
	∫ ρ	2	vndS =			∫ div[ρ (Π −		Ρ

	0 ;
	Π .
−	Ρ)	div ρ v =		div[ρ( Π	− Ρ) v] ,

			dA
)v]		dV −		,	(15.112)
)v]		dV −		,	(15.112)

или на основании теоремы Гаусса–Остроградского –

− Π +

ρ vndS =

−

(15.113)

∫

Рассмотрим участок трубы, ограниченный сечениями S1 и S2 (рис. 15.13)

и боковой поверхностью S3 . Так как

на S1 vn = − v , на S2 vn = v , на S3 vn = 0 ,

то уравнение (15.113) можно представить в виде

∫

− Π

− Π +

ρ vndS− = −

+ Ρ ρ vndS −

. (15.114)

∫

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

304

ГЛАВА XV

В соответствии с теоремой о среднем значении

∫

ρ vndS =

− Π + Ρ

ρ vndS =

− Π

Qm .(15.115)

− Π + Ρ

+ Ρ

∫

ср S

ср

Массовый расход Qm равен

(15.116)

где dm – масса газа, протекшего через сечение за время dt . При устано-

вившемся течении Qm1 =

Qm2 .

Из соотношений (15.114), (15.115), (15.116) имеем*

1 dA

−

− Π

= −

= − h1− 2 ,(15.117)

− Π + Ρ

+ Ρ

Qm dt

где h1− 2 – удельная по массе работа сил трения.

Пусть расстояние между сечениями S1 и S2 равно dx. Тогда при

dx → 0 из равенства (15.117) следует, что
v2					dp
v2			+ dh	= − dΠ +	dp	+ v dv + dh = 0 . (15.118)

d	2	− Π + Ρ			ρ
	2				ρ

Уравнение (15.118) называется уравнением энергии в механической форме, или обобщенным уравнением Бернулли. Для применения этого урав- нения необходимо задать зависимость p(ρ ) , то есть необходимо задать вид термодинамического процесса, имеющего место при движении газа по трубопроводу. Примем в качестве такого процесса политропический с постоянным показателем политропы n = const , то есть

	p	= const или	p	=	ρ	n
						.	(15.119)
ρ	n				ρ 1	.	(15.119)
ρ			p1		ρ 1

Потери напора на длине dx в соответствии с формулой Дарси–Вейс- баха (11.13) равны

	= λ	dx	v2	,	(15.120)
dh
		D 2g

где D – диаметр трубы.
Опытами установлено, что зависимости λ					от числа Рейнольдса Re

и относительной шероховатости ε , установленные для жидкостей, можно перенести на движение газа, пренебрегая в первом приближении зави- симостью λ от числа Маха M. При турбулентном течении можно по- ложить λ ≈ const . Действительно, зависимость динамического коэффици-

* Для сокращения записи здесь и далее индекс «ср» опущен.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа

#
10.01.20215 Мб123Гидродинамические исследования скважин Курс лекций.pdf
#
10.01.2021459 Кб26ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН НА ПРИОБСКОМ МЕСТОРОЖДЕНИИ.pdf
#
07.02.20211 Мб40ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН-1.pdf
#
10.01.2021353 Кб51Гидродинамические методы исследования скважин.pdf
#
02.01.202139 Мб24Гидродинамическое исследование скважин.pdf
#
02.01.202121 Мб32гидромеханика нефти.pdf
#
07.02.20211 Мб52Гидроочистка сырья.pdf
#
03.02.20211 Мб18гидроочистки сырья.pdf
#
24.01.2021453 Кб28Гидроразрыв пласта при КРС.pdf
#
24.01.2021272 Кб20Гидроразрыв пласта.pdf
#
29.01.2021305 Кб11Глубину превращения при термическом крекинге.pdf