гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

§4. Замыкающие уравнения. Математические модели изотермической фильтрации

Полученные четыре скалярных уравнения (три уравнения задаются законом Дарси, одно выражает закон сохранения массы) содержат шесть неизвестных скалярных функций – три компоненты вектора скорости, плот- ность, давление и пористость (в общем случае в число неизвестных функ- ций еще можно добавить проницаемость и вязкость). Поэтому ясно, что системы (19.6) и (19.7) незамкнуты. Более того, понятно, почему только одних законов сохранения недостаточно для получения замкнутой системы уравнений. Законы сохранения справедливы при фильтрации вязкой жидко- сти во всех пористых средах, а сами пористые среды и вязкие жидкости мо- гут обладать различными свойствами – жидкость может быть сжимаемой и несжимаемой, пористая среда – деформируемой и недеформируемой и так далее. Следовательно, для задания свойств конкретной пористой среды и жидкости необходимо иметь еще уравнения, определяющие эти дополни- тельные свойства (поэтому уравнения и называются определяющими).

В рассматриваемых изотермических фильтрационных течениях опре- деляющие уравнения обычно имеют вид зависимости плотности, пористо- сти (проницаемости, вязкости) от давления, например, ρ = ρ ( p) и так да- лее. В этом случае наиболее общий вид замкнутой системы уравнений (ма-

µ

ρ = ρ ( p), m = m( p) , k = k( p) , µ = µ( p) .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Вид функций от давления в (19.8) подразумевается заданным. Ниже рассмотрим некоторые варианты задания этих функций и соответствую- щие математические модели.

§5. Модель фильтрации несжимаемой вязкой жидкости по закону Дарси в недеформируемом пласте

Наиболее простая модель изотермической фильтрации получается, ко- гда жидкость считается несжимаемой, вязкость – постоянной, а пласт – не- деформируемым. В этом случае определяющие уравнения задаются равен- ствами:

и замкнутая система уравнений для фильтрации в изотропном пласте при- обретает вид

µ

Система уравнений (19.10) содержит четыре уравнения и четыре не- известных функции – три компоненты вектора скорости и давление. Плот- ность перестает быть искомой функцией, так как она не изменяется и зада- ется, если необходимо, при постановке задачи, так же как и вектор массо- вых сил.

Система (19.10) может быть преобразована. Для упрощения рассуж- дений пренебрежем массовыми силами и подставим закон Дарси в уравне-

µ

Замкнутые системы уравнений (19.10) и (19.11) представляют собой математическую модель теории фильтрации вязкой несжимаемой жидко- сти в недеформируемой изотропной пористой среде.

Системы уравнений для математической модели теории фильтрации вязкой несжимаемой жидкости в недеформируемой анизотропной порис- той среде выглядят аналогично и получаются заменой в системах (19.10)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

и (19.11) закона Дарси для изотропных сред на закон Дарси для анизо- тропных пористых сред (18.46).

Уравнения в системах (19.10) и (19.11) записаны в универсальной без- индексной форме, справедливой для любой системы координат. Проектируя эти уравнения, например, на декартову систему координат, будем иметь, со- ответственно, для уравнений (19.10) –

и для уравнений системы (19.11) –

Для сжимаемого флюида математическая модель включает еще урав- нение состояния. Рассмотрим, к каким особенностям приводит данное об- стоятельство.

§6. Модель фильтрации газа по закону Дарси. Функция Л.С.Лейбензона

Как было сказано, при учете сжимаемости жидкости (газа) в процессе фильтрации в недеформируемом пласте необходимо задать в явном виде уравнение состояния (определяющее уравнение), связывающее между со- бой плотность и давление. Уравнения состояния могут быть различными, однако построение модели и все необходимые при этом математические преобразования можно проделать в общем виде.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Математическая модель фильтрации сжимаемой жидкости (газа) в не- деформируемой изотропной пористой среде без учета силы тяжести в об- щем виде определяется системой уравнений

Систему (19.14) можно преобразовать к виду, более удобному для ре- шения задач, когда система приводится к одному уравнению относительно одной неизвестной функции. Для вывода такого уравнения подставим за- кон Дарси в уравнение неразрывности и получим

Дальнейшее преобразование связано с введением функции P , позво- ляющей провести линеаризацию выражения под оператором дивергенции:

Функция P называется функцией Лейбензона. Из (19.15) с учетом то- го, что ρ = ρ ( p) , интегрированием получаем

Равенство (19.16) позволяет определить явный вид функции Лейбен- зона при заданном уравнении состояния ρ = ρ ( p) , а подстановка уравне- ния состояния в полученное выше уравнение

позволяет получить уравнение относительно лишь одной функции – дав- ления p . Проведенные преобразования в более общем виде далее будут использованы при рассмотрении теории упругого режима.

После введения функции Лейбензона систему (19.14) уравнений мож- но переписать в виде

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Замкнутые системы уравнений (19.14) и (19.17) определяют матема- тическую модель теории фильтрации вязкой сжимаемой жидкости (газа) в недеформируемой изотропной пористой среде.

Математические модели (19.14) и (19.17), очевидно, эквивалентны и описывают неустановившееся фильтрационное течение. Для установив- шегося процесса системы упрощаются и принимают вид

Таким образом, при установившейся фильтрации первое уравнение сис- темы (19.19) представляется уравнением Лапласа для функции Лейбензона, интегрируя которое можно найти эту функцию и, далее, определить рас- пределение скоростей и давлений в пласте. Первое уравнение систе- мы (19.17) содержит две неизвестных функции – плотность и функцию Лейбензона, но при задании уравнения состояния (предпоследнего соот- ношения в системе), его тоже можно представить в виде дифференциаль- ного уравнения только для функции Лейбензона.

Для математической модели (19.8) пласт считается деформируемым, так как пористость и проницаемость полагаются функциями давления. При этом изменение давления в пласте столь существенно, что и вязкость тоже полагается функцией давления. Поэтому подстановка закона Дарси в урав- нение неразрывности приводит к обобщенной функции Лейбензона. В са-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Разрешив последнее равенство относительно обобщенной функции Лей- бензона, получим формулу для вычисления P

Система уравнений (19.8) после проведенных преобразований приоб- ретает вид

Конкретная реализация модели (19.21) будет рассмотрена в XXI главе при выводе основного уравнения теории упругого режима.

§7. Модели однофазной фильтрации в недеформируемом пласте при нелинейных законах фильтрации

Как уже отмечалось, закон Дарси имеет верхний и нижний пределы применимости. Построенные в предыдущих пунктах математические мо- дели справедливы лишь для фильтрационных потоков при выполнении за- кона Дарси. Поэтому при нарушении линейного закона фильтрации эти модели уже неприменимы, и их необходимо обобщить на случай нелиней- ных законов фильтрации. Как было показано, закон фильтрации получает- ся из закона об изменении количества движения. Общий принцип построе- ния математической модели остается прежним – математическая модель представляет собой замкнутую систему уравнений, выражающих законы сохранения, к которым добавляются определяющие уравнения. И в нели- нейном случае закон Дарси необходимо заменить на нелинейный закон фильтрации.

При нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости (без учета силы тяжести) по закону Форхгеймера система уравнений (19.10) заменяется на

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

а при фильтрации по степенному закону – на

Анализ этих систем и их интегрирование будут рассмотрены в сле- дующей главе.

§8. Зависимость параметров флюидов и пористой среды от давления

Понятно, для возможности использования построенных моделей тео- рии однофазной фильтрации при решении конкретных задач необходимо в явном виде задать зависимости ρ = ρ ( p) , m = m( p) , k = k( p) , µ = µ ( p) . Поэтому выпишем основные зависимости параметров флюидов и пористой среды от давления.

Внеустановившихся процессах часто большое количество нефти можно отобрать за счет расширения ее объема при снижении давления. В этих процессах необходим учет сжимаемости жидкости. При движении газа не- обходимо учитывать зависимость плотности газа от давления. Поэтому

вкачестве основных уравнений состояния рассматривают уравнения со-

стояния упругой жидкости, совершенного и реального газов.

Вдальнейшем будем считать, что давление является функцией только плотности. Процессы, в которых p = f(ρ ) , называются, как уже ранее от-

мечалось, баротропными. Примерами баротропных процессов могут слу- жить изотермические фильтрационные течения.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

По определению, коэффициент объемного сжатия жидкости β ж равен отношению относительного изменения объема жидкости dVж Vж к изме- нению давления dp

Знак минус поставлен для того, чтобы коэффициент объемного сжа- тия жидкости был положительной величиной. В самом деле, при увеличе- нии давления (dp > 0) объем жидкости уменьшается (dVж < 0) и наобо- рот, то есть дифференциалы в числителе и знаменателе равенства (19.22) имеют разные знаки. Коэффициент объемного сжатия жидкости обычно считается универсальной постоянной, то есть считается, что он не зависит ни от температуры, ни от давления, но для разных жидкостей он принима- ет разные значения.

По данным В.Н.Щелкачева, для нефти отечественных месторождений β ж

изменяется в диапазоне от 7 10–10 Па–1 до 30 10–10 Па–1, а для пластовых вод диапазон изменения лежит в пределах от 2,7 10–10 Па–1 до 5 10–10 Па–1.

Соотношение (19.22) в неявном виде задает связь между давлением и плотностью в упругой жидкости (то есть уравнение состояния). Чтобы получить уравнение состояния из равенства (19.22) в явном виде, перейдем от объемов к плотности жидкости. Для однородной жидкости масса жид- кости и объем связаны соотношением M = ρ Vж , поэтому при M = const

dVж = d Mρ = − Mρ 2 dρ ,

Следовательно, подставляя выписанные выражения в (19.22), получаем

в результате получим

ln ρρ0 = β ж ( p − p0) .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ложить в ряд. Ограничиваясь только линейным членом разложения, будем

иметь

eβ ж ( p− p0 ) ≈ 1 + β ж ( p − p0) ,

Используя проведенные преобразования, получим уравнение состояния упругой слабосжимаемой жидкости при небольших перепадах давления

Для больших значений β ж ( p − p0) необходимо использовать уравне- ние состояния (19.23). Наряду с коэффициентом объемного сжатия часто используют обратную величину, Kж = 1β ж , которая называется модулем упругости жидкости.

Для природных газов в качестве уравнения состояния часто исполь- зуют уравнение состояния совершенного газа (уравнение состояния Мен- делеева–Клапейрона)

где R – газовая постоянная, T – абсолютная температура. Уравнение со- стояния (19.25) для изотермических процессов принимает вид

ρp = RT = const .

Обычно константу в уравнении состояния определяют заданием плот- ности газа и давления при атмосферных условиях, принимая при этом, что температура T равна температуре в пласте Tпл –

где ρ ат – плотность газа при атмосферном давлении pат . Следовательно, уравнение состояния совершенного газа, которым мы будем пользоваться в дальнейшем, запишется в виде

Для газовых месторождений с большими пластовыми давлениями (по- рядка 40–60 МПа) используется уравнение состояния, которое называется уравнением состояния реального газа и имеет вид

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

404 ГЛАВА XIX

где z – коэффициент сверхсжимаемости газа, равный отношению плотно- сти совершенного газа к плотности реального при заданных P и T . Коэф- фициент сверхсжимаемости учитывает отклонения состояния реального газа от предписываемого уравнением состояния для совершенного газа.

и может быть определен как аналитически, так и графически с помощью графиков, представленных на рис. 19.2. В равенствах (19.28) pср.кр. и Tср.кр.

– среднекритические давление и температура. Как известно, природный газ состоит из различных компонентов (метан, этан, пропан и др.), и средне- критические давление и температура определяются по формулам

где nj – содержание j-го компонента в газе, в объемных процентах; pкр.j и

Tкр.j – критические давление и температура j-го компонента, соответственно.

Для изотермических фильтрационных течений величина RT посто- янна и для уравнения состояния реального газа может быть определена при атмосферных условиях

Уравнение состояния реального газа в этом случае примет вид

Используя приведенные уравнения состояния (19.23), (19.24), (19.26) и (19.29), нетрудно вычислить функцию Лейбензона для каждого случая.

Для упругой жидкости с уравнением состояния (19.23) функция Лей- бензона имеет вид

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts