гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Рис. 21.4. Распределение давления в плоскорадиальном потоке несжимаемой жидкости в зонально-неоднородном пласте

дой из зон зонально-неоднородного пласта имеем плоскорадиальный фильт- рационный поток с теми же расчетными формулами для давления, скоро- сти фильтрации и дебита, что и в случае однородного пласта. Например, при фильтрации несжимаемой жидкости

где в качестве давлений на контуре питания и на скважине принимаются давления в начале и в конце зоны, соответственно, и вместо радиусов кон- тура питания и скважины принимаются радиусы начала и конца зоны.

По сравнению со слоисто-неоднородным пластом, в котором формула для распределения давления была одинаковой для всех пропластков, но в каждом пропластке были разные скорости фильтрации и дебит, в данном случае во всех зонах будет одинаков только дебит, а формула для распре- деления давления и скорости для каждой зоны будет своя. В самом деле, сколько втекает в пласт через контур питания, столько и вытекает из пла- ста через скважину. Такой вывод следует из закона сохранения массы при установившемся течении. Следовательно, объемный дебит в каждой зоне один и тот же, но сечения пласта имеют различную площадь, поэтому ско- рость фильтрации в каждой зоне будет изменяться, даже внутри зоны она не будет постоянна. Таким образом, формулы для распределения давления,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

скорости фильтрации и дебита при зонально-неоднородной плоскорадиаль- ной фильтрации в каждой из зон неоднородности пласта ( 0 ≤ i ≤ n ) имеют вид (21.35).

Как и в случае прямолинейно-параллельной фильтрации, формула- ми (21.35) воспользоваться для вычислений невозможно, так как в поста- новке задачи заданы давления только на контуре питания и скважины. По- этому найдем вначале формулу для дебита, выраженную через давления, заданные в постановке задачи. Для этого разрешим формулы для дебита в каждой зоне относительно разности давлений

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ную для дебита в первой зоне, и (21.36). Получим равенство

в котором единственной неизвестной величиной является давление на гра- нице первой и второй зон (все остальные величины заданы в постановке задачи). Аналогично можно определить и остальные значения давления на границах зон неоднородности.

Используя аналогию между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа, из соотношений (21.35) можно получить формулы для фильтрации совер-

Для нахождения давлений на границах зон можно воспользоваться рас- суждениями, аналогичными тем, которое были проведены для несжимае- мой жидкости: получить формулу для дебита, выраженную через давления pk и pc , и далее получить выражение типа (21.38).

Время движения частиц может быть в каждой зоне вычислено по формулам (20.23) и (20.24) для несжимаемой жидкости и (20.49) для газа, с той лишь разницей, что в качестве контура питания и скважины высту- пают границы зоны неоднородности.

Не рассмотренные здесь случаи радиально-сферического притока, а так- же фильтрация в неоднородных пластах по нелинейным законам могут быть изучены студентами самостоятельно.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Глава XXII

ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ

§1. Основные определения и понятия

В предыдущих главах рассматривались модельные задачи, в которых описывался приток флюида или к галерее, или к единственной централь- ной скважине в круговом пласте. Понятно, что реальные месторождения разрабатываются не одной скважиной, их количество определяется из ус- ловия обеспечения заданного отбора из месторождения углеводородного сырья. Поэтому в фильтрационных расчетах, связанных с разработкой ме- сторождений, необходимо рассматривать множество скважин, размещен- ных определенным образом на площади нефтегазоносности. При этом воз- никают гидродинамические задачи определения давления на забоях сква- жин при заданных дебитах, или наоборот, дебитов при заданных давлени- ях.

При решении этих задач нужно учи- тывать, что при работе нескольких сква- жин наблюдается их взаимное влияние друг на друга – интерференция сква- жин. Это влияние приводит к тому, что при вводе в эксплуатацию новых сква- жин суммарная добыча на месторожде- нии растет медленнее, чем увеличива- ется число скважин (рис. 22.1).

Поэтому, усложняя задачи с целью более адекватного описания процессов, происходящих на месторождениях уг- леводородного сырья, необходимо рас-

смотреть постановки и решения задач, когда одновременно работают не одна, а группы скважин. Наиболее простые постановки задач получаются в том случае, когда пласт предполагается плоским, а скважины считаются точеными источниками или стоками. При решении подобных задач не только в подземной гидромеханике, но и в других разделах гидромеханики

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

широко используется предположение о потенциальности течения и метод суперпозиции (потенциала).

Течение называется потенциальным, если существует такая скалярная функция Ф, что градиент от нее равен вектору скорости v , т.е. выполня- ется равенство

§2. Потенциал точечного источника и стока на изотропной плоскости. Метод суперпозиции

Назовем точечным стоком на плоскости точку, которая поглощает жидкость. В качестве стока можно рассматривать добывающую скважину, считая, что ее диаметр бесконечно мал. На плоскости вокруг точечного стока линии тока будут представлять собой прямые линии, направленные к скважине, а линии равного потенциала будут окружностями (рис. 22.2 а). Нагнетательная скважина, из которой жидкость попадает в пласт, пред- ставляет собой источник (рис. 22.2 б.).

Рис. 22.2. Источник и сток на плоскости

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

460 ГЛАВА XXII

Найдем потенциал добывающей скважины (стока). Для этого спроек- тируем уравнение (22.1) на цилиндрическую систему координат. В резуль-

Заметим, что рассматривается добывающая скважина, поэтому при про- ектировании скорость, направленная к полюсу полярной системы коорди- нат, проектируется на ось Or со знаком «минус», поэтому в равенстве (22.3) знак минус отсутствует. Далее, введем удельный дебит q, приходя- щийся на единицу толщины пласта q = Qh, и выразим его через скорость фильтрации

Следовательно, равенство (22.3) можно переписать в виде

Разделим переменные в уравнении qdr =

2π r

dФ

и проинтегрируем его. В результате получим

где С – постоянная интегрирования. Очевидно, что аналогичные рассуж- дения можно повторить и для случая, когда на плоскости находится источ- ник, в этом случае получим

Уравнению Лапласа, очевидно, удовлетворяет не только давление, но и введенные равенствами (22.4) и (22.5) потенциалы

Поскольку уравнение Лапласа линейное и однородное, его решения обладают очень важным свойством: сумма частных решений уравнения и произведение частного решения на константу также являются решением. Это свойство позволяет использовать при решении задач метод, который на- зывается суперпозицией. Математический смысл метода суперпозиции сво- дится к тому, что если имеется N фильтрационных потоков с потенциалами

Фi = (qi 2π ) ln r + Ci , где i = 1, 2, ... , N ,

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, то и линейная ком-

N

бинация этих потенциалов Ф = ∑ciФi , где сi – произвольные постоян-

i= 1

ные, также удовлетворяет уравнению Лапласа (22.6).

С гидродинамических позиций данный факт означает, что если най- ден потенциал i-ой скважины для случая, когда на пласте работает одна единственная i-ая скважина, то при совместной работе в пласте всех N скважин, решение находится алгебраическим суммированием. Суммар- ная скорость в пласте определяется как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой из скважин. Таким образом, при совместной работе в пласте N скважин результирующий потенциал в произвольной точке М находится как сумма потенциалов всех скважин

(см. рис. 22.2 а):

где ri – расстояние от точки М до i -ой скважины (i = 1, 2,…, N), Сi – по- стоянные.

Рис. 22.3. Схема скоростей фильтрации в точке М при работе четырех скважин- стоков (а) и вычисление результирующей скорости в точке М (б)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Метод суперпозиции можно использовать как в случае бесконечного пласта, так и в случаях, когда имеется контур питания или непроницаемая граница. В последних случаях для решения задач вводятся фиктивные сква- жины (источники или стоки), с помощью которых удается удовлетворить не- обходимым граничным условиям. Далее рассматривается работа совокуп- ности реальных и фиктивных скважин в бесконечном пласте. Такой метод называется методом отображения источников и стоков.

Рассмотрим несколько примеров, решение которых находится с по- мощью метода суперпозиции и метода отображения источников и стоков, которые имеют практическое применение в теории разработки нефтяных и газовых месторождений.

§3. Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания

Используя принцип суперпозиции, рассчитаем дебиты, забойные по- тенциалы (давления), скорости фильтрации и т.д. для группы скважин, ра- ботающих в пласте с удаленным контуром питания.

Рис. 22.4. Схема группы скважин с удаленным контуром питания

Пусть имеется n скважин (рис. 22.4) с радиусами ri , на которых зада-

ны потенциалы Фi (забойные давления pci ), а также задан радиус контура питания Rk и потенциал на нем Фk (контурное давление pk ), известны и все расстояния между скважинами rij – расстояние между i -ой до j -ой

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

скважинами (очевидно, rij = rji ). Требуется определить дебиты скважин (сто-

ков) qi .

Выражение для потенциала в произвольной точке М задается форму- лой (22.7). Поместим вначале точку М на забой каждой скважины и полу- чим n уравнений

в которые входит n + 1 неизвестное qi (i = 1, 2, … , n) и С. Поэтому для за- мыкания системы уравнений добавим еще одно, которое получается при помещении точки М на контур питания:

Очевидно, что при написании уравнения (22.10) расстояние от всех сква- жин до контура питания считалось одинаковым и равным Rk .

Полученная система уравнений (22.9) и (22.10) содержит n + 1 урав- нение и может быть разрешена. При нахождении q i исключим из систе- мы С. Для этого вычтем последовательно каждое из равенств (22.9) из равенства (22.10) и получим n уравнений

Система (22.11) , после подстановки численных значений, представ- ляет собой линейную систему уравнений относительно qi и может быть разрешена с помощью любого известного метода решения линейных сис- тем (Крамера, Гаусса и т.д.).

Рассмотрим теперь примеры на метод отображения источников и сто-

ков.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

464 ГЛАВА XXII

§4. Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания

Пусть эксплуатационная скважина находится в пласте с прямолиней- ным контуром питания, то есть пласт представляет собой полуплоскость, через границу которой происходит приток к скважине. Расстояние от скважины до контура питания равно a , заданы потенциалы на контуре пи- тания Фk и на скважине Фс (рис.22.5). Требуется определить дебит сква- жины и потенциал в любой точке пласта. В этом случае реальную скважи- ну зеркально отображают относительно прямолинейного контура питания, но дебиту отображенной скважины приписывается знак, обратный по от- ношению к знаку дебита у реальной скважины.

Напишем потенциал для произвольной точки М

а затем поместим точку М сначала на стенку скважины, а потом на контур питания. В результате получим систему уравнений

Рис. 22.5. Схема притока жидкости к скважине, работающей вблизи прямоли- нейного контура питания

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts