гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Векторное уравнение (18.16) представляет собой закон Дарси для изо- тропной пористой среды. Знак минус в правой части равенства появляется из-за того, что скорость фильтрации направлена в сторону уменьшения давления. Поэтому векторы скорости фильтрации и градиента фильтраци- онного давления направлены в противоположные стороны (напомним, градиент направлен в сторону роста давления, а скорость фильтрации, сле- довательно, в обратную сторону – от большего давления к меньшему).

Равенство (18.16) задает закон Дарси в универсальной безиндексной форме записи, справедливой для любой системы координат. В декартовой системе координат это равенство записывается в виде

где i, j, k – орты декартовой системы координат, при этом ось z направле- на вертикально вверх. Последнее векторное равенство может быть спроек- тировано на оси координат и переписано в виде системы соотношений

Однако закон Дарси имеет границы применимости, которые рассмот- рим в следующем параграфе.

§5. Границы применимости закона Дарси. Анализ и интерпретация экспериментальных данных

Проверке и исследованию применимости закона Дарси посвящено значительное число работ отечественных и зарубежных специалистов. В процессе исследований было установлено, что закон Дарси имеет верх- нюю и нижнюю границы применимости. Верхняя граница применимости закона Дарси определяется группой причин, связанных с проявлением инерционных сил при высоких скоростях фильтрации. Нижняя граница определяется проявлением неньютоновских реологических свойств жидкос- ти, ее взаимодействием с твердым скелетом пористой среды при достаточ- но малых скоростях фильтрации.

Рассмотрим каждый из этих предельных случаев, которые приводят к появлению нелинейности в законе фильтрации.

Верхняя граница применимости закона Дарси. Наиболее полно изу-

чены отклонения закона Дарси, вызванные проявлением инерционных сил при увеличении скорости фильтрации. Верхнюю границу применимости закона Дарси обычно связывают с некоторым критическим (предельным)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

значением числа Рейнольдса Re:

Re = wdν ,

где d – некоторый характерный линейный размер пористой среды, ν – кинематический коэффициент вязкости флюида (ν = µ ρ ) .

Многочисленные экспериментальные исследования, в частности, опыты Дж.Фэнчлера, Дж.Льюиса и К.Бернса, Линдквиста, Г.Ф.Требина, Н.М.Жаво- ронкова, М.Э.Аэрова, А.И.Абдулвагабова и других были направлены на построение для пористой среды универсальной зависимости (по аналогии с трубной гидравликой) коэффициента гидравлического сопротивления λ от числа Рейнольдса. Однако вследствие различной структуры и состава пористых сред получить такую универсальную зависимость не удается.

При обработке результатов экспериментов значительное внимание обращалось на такой выбор характерного размера поровой структуры, что- бы отклонения от закона Дарси возникали при одинаковых значениях чис- ла Рейнольдса, а закон фильтрации в нелинейной области допускал уни- версальное представление.

Первая количественная оценка верхней границы применимости закона Дарси была дана более 60-ти лет назад Н.Н.Павловским, который, опира- ясь на результаты Ч.Слихтера, полученные для модели идеального грунта, и полагая характерный линейный размер d равным эффективному диа- метру d˝Ù частиц, вывел следующую формулу для числа Рейнольдса

Используя эту формулу и данные экспериментов, Н.Н.Павловский ус- тановил, что критическое значение числа Рейнольдса находится в пределах

7,5 < Reкр < 9 .

Достаточно узкий диапазон изменения значений Reкр объясняется

тем, что в опытах использовались не слишком разнообразные образцы по- ристых сред.

Для удобства обработки результатов многочисленных эксперимен- тальных данных различных авторов В.Н.Щелкачев предложил использо- вать безразмерный параметр, названный им параметром Дарси и опреде- ляемый равенством

Из определения (18.20) видно, что параметр Дарси представляет собой отношение силы вязкого трения к силе давления, и при выполнении закона

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Введение параметра Da упрощает исследование границы применимо- сти линейного закона фильтрации. Действительно, если на оси абсцисс от-

графике линия начнет отклоняться от оси абсцисс, сразу же обнаружится и от- клонение от закона Дарси (это соответствует Da < 1, lgDa < 0 ). Значение Re, при котором станет заметным отклонение упомянутой линии от оси абсцисс, и будет критическим.

Для иллюстрации сказанного на рис. 18.8 на логарифмической сетке показаны зависимости lgDa от lg Re , представляющие результат обра- ботки опытов по формулам В.Н.Щелкачева (табл. 18.1). Данные на этом графике соответствуют области нелинейной фильтрации для различных образцов пористых сред.

Рис. 18.8. Зависимости lg Da от lg Re на логарифмической сетке

Основываясь на этих соображениях, В.Н.Щелкачев провел критичес- кий анализ и сравнение формул, полученных разными исследователями, для определения Re в подземной гидромеханике и оценки возможных критических значений числа Рейнольдса, соответствующих верхней гра- нице применимости закона Дарси. Результаты такого сопоставления при- ведены в таблице 18.1. В первых двух строках таблицы даны, соответст- венно, формулы для числа Рейнольдса и коэффициента гидравлического сопротивления, полученные разными авторами. В четвертой и пятой стро- ках приведены критические значения числа Рейнольдса, полученные са- мими авторами, и их уточненные значения.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Наличие третьей строки табл. 18.1, в которой приведено произведение Re λ , объясняется следующим. В области линейного закона фильтрации ( Re < Reкр ) справедливо равенство (18.21). Поэтому если произведе-

ние Re λ зависит только от параметра Дарси (см. графы 5–8 табл. 18.1), то оно имеет постоянное значение (не зависящее от свойств пористой среды) в случае, если Re < Reкр . И только в этом случае можно получить «уни-

версальный» прямолинейный график в координатах ( lg Re, lg λ ), соответ- ствующий фильтрации разных флюидов через различные по свойствам по- ристые среды. Результаты обработки опытов подтверждают такой вывод.

На основании анализа данных, приведенных в таблице 18.1, можно сделать следующие выводы.

1. Несмотря на отмеченные недостатки результатов Н.Н.Павловского, есть основания для их сопоставления с соответствующими результатами трубной гидравлики. Важно подчеркнуть, что критические значения фильтрационного числа Рейнольдса, подсчитанные по формуле (18.19), намного меньше тех, которые в трубной гидравлике соответствуют пере- ходу ламинарного движения в турбулентное. Это служит одним из доводов в пользу того, что причины нарушения закона Дарси при высоких скоро- стях фильтрации (увеличение влияния сил инерции по мере увеличения числа Рейнольдса) не следует связывать с турбулизацией течения. Отсут- ствие турбулентности при нарушении закона Дарси было доказано также прямыми опытами, проведенными Г.Шнобели.

Формулы Фэнчера, Льюиса и Бернса получены формальным введени- ем в выражение для числа Рейнольдса эффективного диаметра dэф в каче-

стве характерного внутреннего линейного размера пористой среды. Они не сопоставимы с результатами трубной гидравлики, дают слишком узкий диапазон изменения значений Reкр (см. графу 4 табл. 18.1), мало обосно-

ваны.

2. Во все другие формулы табл. 18.1 (графы 5–8) в качестве характер- ного линейного размера входят величины, пропорциональные k ( k – ко- эффициент проницаемости породы), методы определения которых хорошо известны. Формулы этой группы не имеют принципиальных преимуществ и одинаково удобны для практического использования. Для этих формул характерно то, что все они приводят к очень широким диапазонам измере- ния Reкр для различных пористых сред. Это представляется вполне есте-

ственным ввиду разнообразия свойств испытанных пористых сред. Кроме того, это свидетельствует о том, что ни в одну из предложенных формул для определения Re не входит полный набор параметров, позволяющий характеризовать сложную структуру пористых сред. Использование для

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

370 ГЛАВА XVIII

этой цели коэффициентов пористости и проницаемости явно недоста- точно.

Вместе с тем, широкий диапазон изменения значений Reкр можно

разбить на сравнительно узкие интервалы, соответствующие различным группам образцов пористых сред. Это означает указание возможной верх- ней границы справедливости закона Дарси при движении флюида в какой- либо пористой среде.

Результаты такого разбиения для формулы В.Н.Щелкачева (см. табл. 18.1, первая строка, пятая графа) приведены в табл. 18.2.

Таблица 18.2. Интервалы критических значений Re для образцов по- ристых сред.

§6. Нелинейные законы фильтрации

Как было показано в предыдущем параграфе, основное уравнение теории фильтрации, закон Дарси, имеет верхнюю и нижнюю границы при- менимости, поэтому необходимо его обобщение. Первое обобщение закона Дарси при Re ≥ Reкр было предложено Дюпюи, который сформулировал

двухчленный закон, получивший имя австрийского ученого Ф.Форхгейме- ра, независимо предложившего этот закон несколько позднее. Двучленный закон, разрешенный относительно градиента давления, в векторной форме записывается в виде

номерного течения, когда модуль градиента давления не изменяется вдоль потока (см. §4, формула (18.15)), уравнение можно спроектировать на ко- ординатную ось и записать в скалярном виде

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Из последнего равенства становится понятно, почему обычно соотно- шение (18.23) трактуется как разложение в ряд Тейлора закона фильтрации по степеням вектора скорости фильтрации.

Необходимо отметить, что представление нелинейного закона фильт- рации в виде (18.22) является неединственным. В учебниках и монографиях приводится и иное представление коэффициента при квадратичном чле- не. Например, вместо константы β и проницаемости фигурирует вве- денный Е.М.Минским коэффициент макрошероховатости l

или иной коэффициент проницаемости (коэффициент проницаемости ве-

коэффициент проницаемости весомой жидкости.

Перечисленные представления нелинейных законов фильтрации лишь один из вариантов обобщения закона Дарси при больших скоростях фильт- рации. Другой распространенный вариант нелинейного закона фильтрации, разрешенного относительно скорости фильтрации, имеет вид

где grad p – модуль вектора градиента фильтрационного давления, c, n –

материальные константы пористой среды, определяемые в результате об- работки экспериментальных данных. Обычно константа n лежит в преде- лах от единицы до двух. При n = 2 формула (18.24) называется формулой Краснопольского, предположившего, что зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации при отклонении от закона Дарси квад- ратичная. В самом деле, для одномерного течения уравнение (18.24) мож- но спроектировать на координатную ось и записать в скалярном виде

1

w = c grad p n ,

откуда при n = 2 получается

w 2 = c grad p .

Соотношение (18.22) представляется более универсальным, чем (18.24), и обычно считается, что его можно использовать при любых скоростях фильтрации. При малых скоростях фильтрации второе слагаемое имеет второй порядок малости (по скорости фильтрации), и им можно пренеб- речь. В то время как степенной закон фильтрации (18.24), очевидно, можно

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Введение в представление множителя при второй степени скорости фильтрации в формуле (18.22) в качестве множителя ρ следует как из тео- рии размерности, так и по физическому смыслу, вкладываемому в причину отклонения закона фильтрации от линейности (плотность ρ – мера инер- ции, удельная масса).

Для изотропных пористых сред несложно получить общий вид нели- нейного закона фильтрации. Умножим векторное уравнение (18.16) ска- лярно вначале на орт, направленный вдоль скорости фильтрации. В ре- зультате получим равенство

w = k grad p .

Далее, разрешая последнее равенство относительно k , будем иметь

В эксперименте находится зависимость w = QS = F( grad p ) . По-

этому, выбрав класс функций, в которых определяется аппроксимация F( grad p ) , можно получить выражение того или иного нелинейного за-

кона фильтрации.

Аналогичные выкладки и рассуждения можно проделать и при опре- делении закона фильтрации, разрешенного относительно градиента фильтрационного давления. Выражение, аналогичное (18.25), для коэффи- циента фильтрационного сопротивления имеет вид

В этом случае полученная экспериментальная зависимость обрабаты- вается уже как

grad p = Ψ ( w ).

Обратимся теперь к отмеченному выше отклонению от закона Дарси, экспериментально наблюдаемому при малых скоростях фильтрации (так как скорости фильтрации очень малы, то это отклонения вблизи нуля). От- клонения при малых скоростях фильтрации имеют другую физическую природу и обусловливаются, как уже отмечалось, неньютоновскими свой- ствами жидкости и действием значительных поверхностных сил (сил взаи- модействия между флюидом и твердым скелетом). При очень малых ско- ростях фильтрации неньютоновскими свойствами в пористой среде могут

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

обладать даже ньютоновские жидкости. Но с ростом скорости этот эффект

вньютоновских жидкостях быстро исчезает.

Внефтегазовом деле к жидкостям, проявляющим неньютоновские свойства, относятся так называемые аномальные нефти и буровые растворы.

Классическим примером выражения закона фильтрации для неньюто- новской жидкости является закон фильтрации с предельным (начальным) градиентом. Этот закон фильтрации выписывается для вязкопластичной жидкости Бингама–Шведова и имеет вид

§7. Структурные модели пористых сред

Как уже отмечалось выше, реальные коллекторы углеводородного сырья имеют сложное строение пустотного пространства, которое образу- ется поровыми каналами с резко изменяющимися диаметрами и направле- ниями, состоят из частиц различной формы и размеров и т.д. Поэтому по- строение аналитических решений, учитывающих все перечисленные осо- бенности реальных пористых сред, практически, невозможно. В связи с этим в подземной гидромеханике часто пользуются упрощенными идеа-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

лизированными моделями пористой среды. К таким моделям относятся идеальные (капиллярные) и фиктивные (корпускулярные) грунты (среды). В корпускулярных моделях пористая среда моделируются шарами, а в ка- пиллярных – капиллярными трубками.

Простейшая корпускулярная модель, в которой пористая среда моде- лируется упаковкой шаров постоянного диаметра, называется фиктивным грунтом (или фиктивной пористой средой). Простейшая капиллярная мо- дель, в которой пористая среда моделируется капиллярными трубками постоянного диаметра, уложенными с постоянным периодом, называется идеальным грунтом (или идеальной пористой средой). Наиболее популяр-

Рис. 18.10. Слой шаров, плотнейшим Рис. 18.11. Проекции двух основных образом прилегающих друг к другу плотнейших упаковок шаров:

а – кубическая, б – гексагональная

ные модели фиктивного грунта соответствуют наиболее плотным упаков- кам шаров. Две основные упаковки – кубическая и гексагональная полу- чаются следующим образом: первый плоский слой уложен так, что каждый шар касается шести соседних, каждый шар второго слоя помещается в уг- лубление между тремя шарами первого слоя (рис. 18.10, 18.11). При нало-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts