гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

наиболее плотной упаковки с кубической симметрией рассматривают и та- кую упаковку, когда в первом слое каждый шар касается только четырех шаров, а все последующие слои повторяют первый. Назовем последнюю кубическую упаковку шаров рыхлой кубической упаковкой.

Для капиллярных моделей идеального грунта наиболее простые моде- ли получаются при взаимно перпендикулярном расположении капилляров.

Введение в рассмотрение идеальных и фиктивных грунтов и получае- мое в результате упрощение структуры порового пространства позволяют находить аналитические формулы, связывающие между собой фильтрацион- но-емкостные характеристики таких упрощенных пористых сред, и далее обобщать полученные соотношения на реальные пористые среды. Рас- смотрим в начале основные соотношения для фиктивного грунта.

Для фиктивного грунта достаточно просто получается соотношение, связывающее удельную поверхность с пористостью упаковки m и диа- метром шаров D. Возьмем объем, в котором имеется n шаров. Тогда весь объем можно представить как сумму объема пустот и шаров –

π D3 n = V . 6

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где θ – острый угол боковой грани элементарной ячейки ромбоэдра в ук- ладке шаров. Значение этого угла, по С.Слихтеру, изменяется в пределах от 600 до 900, и, следовательно, пористость и просветность изменяются в пределах 0,259 ≤ m ≤ 0,476 и 0,0931 ≤ s ≤ 0,2146 . Как следует из соот- ношений (18.30) и (18.31), ни пористость, ни просветность не зависят от диаметра шаров и определяются только углом θ . Поэтому, исключив из соотношений угол, можно найти связь между пористостью и просветно- стью. К сожалению, система этих уравнений относительно θ является транс- цендентной и не решается в явном виде, поэтому связь между пористостью и просветностью задается с помощью приближенных формул

которые на указанном выше диапазоне пористости укладок шаров дает по- грешность менее 2%.

Дальнейшее развитие изучение фиктивного грунта получило в рабо- тах И.Козени и П.Кармана, которые предложили для вычисления прони- цаемости пористых сред формулу

где c – число Кармана. В результате многочисленных экспериментальных исследований было установлено, что для упаковок шаров число Кармана приблизительно равно 5.

Подстановка в равенство (18.33) формулы (18.29) приводит к сле- дующему выражению для проницаемости фиктивного грунта

Для идеального грунта структура порового пространства допускает аналитическое определение основных фильтрационно-емкостных характе- ристик. Для представления идеального грунта использовались разные схемы элементарных ячеек – одномерные (рис. 18.14) и трехмерные

(рис. 18.15).

Вычислим значения пористости, просветности, удельной поверхности и проницаемости для идеального грунта, образованного тремя системами взаимно перпендикулярных капилляров с диаметрами dα = 2rα и периода- ми укладки aα , α = 1, 2, 3.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Все вычисления можно проделать на элементарной ячейке, образован- ной тремя взаимно перпендикулярными периодами укладки (рис. 18.15). Введем декартову систему координат, оси которой параллельны осям сим- метрии капилляров, которые, в свою очередь, параллельны периодам ук- ладки. Значение индекса в обозначении диаметров и периодов соответст- вует номеру оси координат, которой параллельны капилляр и период. То- гда для пористости, просветности, удельной поверхности и проницаемос- ти, соответственно, получим следующие значения:

В формулах (18.35) под повторяющимся латинским индексом i под- разумевается суммирование, греческие индексы α , β ,γ образуют цикличес- кую перестановку из чисел 1,2,3. Вычисления пористости, просветности и удельной поверхности являются чисто геометрическими и поэтому опус- каются. Единственное замечание – при вычислении пористости и удельной поверхности считалось, что объем «узла» (пересечения капилляров) мал, поэтому им можно пренебречь.

Для вычисления проницаемости рассмотрим движение жидкости в ка- пилляре и воспользуемся известными гидравлическими соотношениями – уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости и формулой Дарси– Вейсбаха для определения потерь напора

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

кого сопротивления, l – длина капилляра между сечениями 1 и 2.

Так как при фильтрации скорости очень малы, то пренебрежем скорост- ными напорами, для вычисления коэффициента гидравлического сопро- тивления примем формулу для ламинарного режима течения в круглой

Для упрощения выкладок положим, что капилляры расположены го- ризонтально, то есть z1 = z2 . Далее можно принять, что потери напора оп- ределяются только потерями на трение по длине, поэтому h1− 2 = hτ , и по- сле несложных преобразований получим

Разрешая формулу относительно средней скорости жидкости в капилляре (истинной средней скорости движения флюида), будем иметь

v = d2 ∆ p . 32µ l

Для того, чтобы перейти к скорости фильтрации w , воспользуемся определением (18.12) – подсчитаем расход, соответствующий скорости v , а затем «размажем» его по всей площади сечения образца. Умножив v на площадь сечения капилляра π d2 4 , получим объемный расход Q, разделив

который на площадь элементарной ячейки a2 , получим уравнение движе- ния фильтрующейся жидкости

которое, как легко видеть, по форме совпадает с законом Дарси (18.15). Структура численного коэффициента в правой части (18.36) сохране-

на для того, чтобы подчеркнуть физический смысл входящих в него со- множителей. Из закона Дарси в форме (18.15) видно, что результирующий коэффициент π d4 128a2 представляет собой проницаемость «одномерно-

го» идеального грунта. При этом первый множитель d2 32 задает «прово- димость» капилляров, и его вид определяется формой поперечного сечения каналов. Если вместо цилиндрических трубок кругового сечения, которые использовались в приведенном примере, взять плоские щели или капилля-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ры эллиптического сечения, то, очевидно, пропорциональность этого мно- жителя квадрату характерного размера сечения сохранится, но будет со- держать иной численный коэффициент. Второй множитель – π d2 4a2 за- дает просветность, которая выступает в качестве масштаба осреднения.

Следовательно, проницаемость является комплексной характеристи- кой пористой среды, учитывающей как форму и размеры сечения поровых каналов, так и их концентрацию в среде. Часто в расчетные формулы для определения проницаемости включают коэффициент извилистости α , ко- торый равен отношению длины проводящего порового канала или «истин- ного» пути флюида в образце (траектории меченой частицы) к длине об- разца (например, керна). В различных модификациях модели одномерного идеального грунта α =1− 3.

При получении соотношения (18.36) рассуждения проводились для одномерной модели идеального грунта. Очевидно, что они сохранятся и при рассмотрении трехмерной модели с той лишь разницей, что необхо- димо проставить индексы, для того чтобы указать, какому капилляру соот- ветствует выписанная формула поэтому, равенство (18.36) примет вид

где индексы α , β ,γ образуют циклическую перестановку.

Из равенства (18.37) получаем выражение для коэффициента прони- цаемости в трехмерной модели идеальной пористой среды

При решении прикладных задач часто возникает необходимость опре- делить характерный линейный размер, который трактуется как эффектив- ный диаметр пор, или диаметр капилляров в модели идеального грунта. В общем виде из (18.38) имеем следующее равенство для определения диаметра капилляра

α

sα

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

380 ГЛАВА XVIII

Обычно в формуле (18.39), из-за отождествления просветности и по- ристости, используется пористость

грунта равенство (18.40) не выполняется. Для перехода от просветности к по-

В общем случае значение ϕ ограничено только снизу – ϕ ≥ 1, и зна- чение структурного коэффициента может изменять значения эффективного диаметра капилляра в широком диапазоне.

В заключение отметим, что выше были рассмотрены лишь простей- шие структурные модели пористых сред, модели, для которых наиболее просто вычислить фильтрационно-емкостные характеристики с помощью геометрических и гидравлических соотношений, не привлекая стохастичес- ких и иных методов. В настоящее время для моделирования пористых сред используются разнообразные статистические структурные модели с хао- тично уложенными сферами, со случайными решетками и со сложной гео- метрией капиллярных каналов.

§8. Закон Дарси для анизотропных сред

Рассмотрим особенности фильтрационных течений в средах, обла- дающих сложной геометрией порового пространства и анизотропией фильтрационных свойств.

В зависимости от структурных особенностей и геометрии порового пространства различают однородные и неоднородные, изотропные и ани- зотропные среды. Анизотропия свойств (в том числе и фильтрационных) означает неодинаковость физических или геометрических свойств по раз- личным направлениям (термин происходит от двух греческих слов: anisos –

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

неравный и tropos – свойства). В реальных коллекторах нефти и газа ани- зотропия может быть обусловлена трещиноватостью, слоистостью, нали- чием различного вида включений в коллекторах, которые приводят к не- одинаковости свойств по различным направлениям. Например, в слоистых пористых средах фильтрационные свойства в плоскости слоев отличаются от фильтрационных свойств в направлении, перпендикулярном слоям, в трещиновато-пористых средах фильтрационные потоки по трещинам значительно превосходят потоки в других направлениях и т.п.

Для описания фильтрационных течений в анизотропных коллекторах углеводородного сырья постулируется обобщенный закон Дарси, справед- ливость которого подтверждена как многочисленными эксперименталь- ными, так и теоретическими исследованиями. Обобщение закона Дарси на случай анизотропных сред производится с математической точки зрения формально. Так как закон Дарси постулирует линейную зависимость меж- ду двумя векторными полями – вектора скорости фильтрации и вектора градиента фильтрационного давления, то соотношения (18.16) – (18.18) за- дают наиболее простую зависимость, когда оба вектора лежат на одной прямой и отличаются друг от друга направлением и длиной. Такая зависи- мость определяет и задает изотропные фильтрационные свойства. В общем случае линейная зависимость между двумя векторными полями определя- ется таким образом, что каждая компонента одного вектора зависит от всех компонент другого. Поэтому в самом общем случае линейная зависимость вектора скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления (са- мый общий случай закона Дарси для анизотропных сред) имеет следую- щий вид:

где wi – компоненты вектора скорости фильтрации, ∂ p ∂ xi – компоненты вектора градиента приведенного давления, kij ( i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3) – ком-

поненты симметричной матрицы (тензора), которая называется матрицей (тензором) коэффициентов проницаемости. Она определяет и задает фильтрационные свойства пористой среды, которые могут быть как изо- тропными, так и анизотропными, с разными типами анизотропии. Явный вид матрицы коэффициентов проницаемости зависит от типа анизотропии

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

и системы координат, в которой записан обобщенный закон Дарси. Всегда можно выбрать хотя бы одну систему координат Ox1x2x3 , в которой за-

Если принять соглашение о суммировании, согласно которому по по- вторяющемуся в записи индексу подразумевается суммирование, то соот- ношение (18.43) можно записать более компактно

где i и j принимают значения 1, 2, 3.

Система координат, в которой матрица коэффициентов проницаемо- сти имеет диагональный вид и обобщенный закон Дарси записывается в виде (18.44), называется главной системой координат, а значения диаго- нальных коэффициентов проницаемости ki – главными значениями тензо- ра проницаемости. В главной системе координат компоненты матрицы обозначаются одним индексом, если система координат не главная – дву- мя. Первый индекс соответствует номеру строки, второй – столбца.

В соотношении (18.46) выписано самое общее представление закона Дарси для анизотропных пористых сред. Уменьшая число отличных от ну- ля компонент матрицы коэффициентов проницаемости, можно получить все возможные типы анизотропии и изотропию. В самом деле, если поло- жить, что все недиагональные элементы матрицы равны нулю, а все диаго- нальные равны друг другу, то получим случай изотропных свойств. Все остальные варианты будут задавать разные типы анизотропии. Прежде чем их классифицировать, определим свойство проницаемости в самом общем виде.

Проницаемостью пористой среды, по определению, (или направленной

проницаемостью) называется величина k(n) , которая определяется по формуле

gradp

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

где ni – единичный вектор, задающий направление в пористой среде,

вдоль которого определяется направленная проницаемость, = ( ) – wi ni w n

скалярное произведение вектора скорости фильтрации и единичного век- тора, grad p – модуль градиента фильтрационного давления. Как следует

из определения, в общем случае проницаемость может зависеть от направ- ления.

Определение (18.47) имеет прозрачный фи- зический смысл – проницаемость, по определе- нию, является скалярной величиной, которая вычисляется вдоль некоторого направления. По- этому для того, чтобы ее вычислить, необходимо найти отношение скалярных величин специаль- ным образом определенных вдоль направления. В равенстве (18.47) в качестве направления, вдоль которого определяется свойство, рассмат- ривается направление приложения градиента дав-

ления ( grad = grad ), а скалярные величины определяются проекти- p p n

рованием на это направление векторов скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления. При проектировании на это направление век-

торов и grad получаем – и grad , а их отношение, умножен- w p wini p

ное на вязкость и взятое с обратным знаком, равно проницаемости. Знак

Соотношение (18.48) дает общее правило вычисления проницаемости, которое справедливо как для изотропных, так и для анизотропных порис- тых сред. В самом деле, для изотропных пористых сред, по определению (18.47) и правилу (18.48) вычисления проницаемости в линейном законе фильтрации, имеем

k(n) = knini = k.

Следовательно, проницаемость для изотропных сред не зависит от на- правления (она для всех направлений одинакова и равна k ).

Равенство (18.48) расшифровывает и смысл утверждения, согласно которому матрица коэффициентов проницаемости kij определяет и задает

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

фильтрационные свойства пористой среды. В самом деле, матрицы опре- деляют тип свойств – изотропные или анизотропные, а численные значе- ния ее элементов – величины, характеризующие их.

Как было показано, изотропные фильтрационные свойства задаются матрицей вида

следовательно, все возможные другие типы матриц задают анизотропные фильтрационные свойства. С помощью методов линейной алгебры можно показать, что все возможные варианты «анизотропных» матриц имеют вид

Первый тип матриц (18.50) задает фильтрационные свойства, напри- мер, слоистых (как правило, осадочных) пористых сред, у которых прони- цаемость в поверхностях напластований одинакова (плоскость с изотроп- ными фильтрационными свойствами) и отличается от проницаемости в на- правлении, перпендикулярном к поверхностям напластований. Так как матрица имеет диагональный вид, то главные направления тензора коэф- фициентов проницаемости у данного типа пористых сред известны априо- ри – одно главное направление перпендикулярно слоистости, два других – лежат в плоскости слоистости. В представлении матрицы коэффициентов проницаемости (18.50) направление, перпендикулярное напластованию, соответствует координатной оси Ox3 .

Второй тип анизотропии задает пористую или трещиноватую среду, у которой априори, как и в первом случае, известны направления всех главных осей матрицы kij , но проницаемости по всем главным направле-

ниям различны. Подобной анизотропией могут обладать трещиноватые коллекторы с тремя взаимно перпендикулярными системами трещин, или уже упомянутые осадочные породы, образованные частицами вытянутой формы.

Первые два типа анизотропии имеют специальные названия – первый тип называется транверсально-изотропным, второй – ортотропным.

В оставшихся двух типах анизотропии априори неизвестно положение главных осей. В третьем типе неизвестно положение двух главных осей, в последнем случае неизвестно положение всех трех главных осей. По-ви- димому, реальные пористые и трещиноватые среды, как правило, к этим

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts