гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

полняются вискозиметрические исследования, являются капиллярные и ро-

пад складывается из перепада ∆ pм на мерном участке lм и перепада ∆ pвх на входном участке длиной lвх (lм = l − lвх )

∆ pl = ∆ pвх + ∆ pм .

Повторив эксперимент на трубке того же диаметра, но при длине L, получим кривую ∆ pL = f(Q) , причем опять

∆ pL = ∆ pвх(1) + ∆ p(м1) ,

где ∆ pвх(1) – перепад давления на входном участке трубки длиной lвх , а ∆ pм(1)

– перепад на длине L − lвх . Так как диаметры обеих трубок и условия вхо-

да в них жидкости одинаковы, то при равных расходах ∆ pвх = ∆ pвх(1) . Поэто-

му величина

∆ p = ∆ pL − ∆ pl = ∆ pм(1) − ∆ pм

будет представлять собой перепад давления на участке длиной L − l для условий бесконечно длинной трубы*.

Принципиальная схема ротационного вискозиметра представлена на рис. 16.7. При вращении наружного цилиндра 1 с угловой скоростью Ω в жидкости 2 возникают касательные напряжения, создающие на внутрен- нем цилиндре 3 крутящий момент M. Под действием этого момента ци- линдр 3 поворачивается на угол θ , величина которого зависит от M и уп- ругих характеристик нити 4. Измеряя этот угол, получают значение дейст- вующего момента M. Проводя эксперимент при различных значениях уг-

* Участок бесконечно длинной трубы представляет собой участок реальной трубы, на котором не сказы- ваются концевые эффекты.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

лярного вискозиметра, возникают концевые эффекты вблизи свободной поверхности жид- кости и дна цилиндра 2. Для их устранения можно повторить эксперимент при другом уровне жидкости h . Дальнейшие рассужде- ния аналогичны приведенным при рассмотре- нии концевых эффектов в капиллярном вискозиметре.

Итак, с помощью капиллярного вискози-

справедливые для бесконечно длинной трубы и зазора бесконечной высо- ты. Для того, чтобы по соотношениям (16.18) или (16.19) можно было най- ти реологические параметры исследуемой жидкости, необходимо иметь теоретический вид этих выражений для неньютоновских жидкостей раз- личных типов.

§4. Течение жидкости по бесконечно длинной круглой трубе

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости по участ- ку бесконечно длинной трубы длиной l и радиусом a . Распределение ка- сательного напряжения по радиусу трубы описывается формулами* (10.33)

и (10.34), то есть

* Из вывода формул (10.33) и (10.34) видно, что результат не зависит от вязкостных характеристик. Сле- довательно, они справедливы и для неньютоновских жидкостей.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

то есть получим дифференциальное уравнение для определения скорости жидкости v(r) .

Для дальнейшего использования уравнения (16.22) необходимо иметь в виду следующее. При течении неньютоновских жидкостей наличие стенки трубы может приводить к возникновению особых направлений в жид- кости, изотропной вдали от стенки. Например, возможное распределение ориентации коллоидных частиц или длинных полимерных цепей вблизи стенки ограничено присутствием самой стенки. Аномалия течения вбли- зи стенки может также возникать благодаря физико-химическому взаи- модействию жидкости с материалом стенки трубы. Аномалия течения, возникающая вблизи стенки, называется пристенным скольжением. Она

заключается в резком изменении величины dvdr в пристенном слое при

сохранении непрерывности распределения скорости вдоль радиуса.

При наличии пристенного скольжения уравнение (16.22) будет справедливо лишь в области 0 ≤ r ≤ a − h , где h – толщина пристенно- го слоя, в котором происходит аномальное течение. Так как обычно

значение скорости, отличное от нуля и равное скорости на границе при- стенного слоя.

Можно показать, что введенная таким образом фиктивная скорость

есть функция касательного напряжения τ . Скорость v(a) = v( τ ) = s( τ )

a a a

называется скоростью скольжения. Интегрируя выражение (16.22), имеем

Следуя Олдройду, проинтегрируем это соотношение по частям. Тогда с учетом равенств (16.22) и (16.23) получим

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Формула (16.24) представляет собой основное соотношение для определе- ния скорости скольжения. Наличие скорости скольжения и вид зависимо- сти s(τ a) могут быть установлены с помощью эксперимента на капилляр- ном вискозиметре. Для этого необходимо получить зависимости ∆ p(Q) на нескольких трубках разного диаметра. Полученные результаты представим

вые на рис. 16.8, полученные для трубок различных диаметров, должны

имеет место картина, представленная на рис. 16.8. Проведя на графике рис. 16.8 сечения прямыми τ a = const , можно построить график, пред- ставленный на рис. 16.9, где линии 1, 2, 3 соответствуют различным значе-

линейно зависит от 1 , причем s(τ a) представляет собой тангенс угла на- a

клона прямых 1, 2, 3. После того как зависимость s(τ a) определена, можно

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

спомощью формулы (16.25) вычислить функцию

τa

откуда после дифференцирования имеем

Таким образом, функция f (τ ) может быть найдена с помощью экспе- риментов на капиллярном вискозиметре. Однако это сопряжено с необхо- димостью проведения обширных экспериментальных исследований и диф- ференцирования функции, полученной опытным путем. Как ниже будет показано, задача определения коэффициентов функции f (τ ) значительно упрощается, если заранее известен ее аналитический вид.

§5. Вращательное течение жидкости в кольцевом зазоре

Рассмотрим установившееся ламинарное вращательное движение жидкости между двумя соосными цилиндрами бесконечной высоты. При этом жидкость движется по круговым траекториям, плоскости которых перпендикулярны оси цилиндров (рис. 16.2). В §1 настоящей главы было показано, что такое течение представляет собой течение с простым сдви- гом, причем скорость сдвига определяется по формуле (16.11). Выделим в потоке элемент радиуса r , толщиной dr и высотой h . Сила, приложен- ная к цилиндрической поверхности радиуса r , равна, очевидно,

F1 = 2π rhτ ,

а приложенная к поверхности радиуса r + dr –

F2 = 2π (r + dr) h( τ + dτ) .

Так как выделенный элемент вращается с постоянной во времени уг- ловой скоростью ω , то сумма моментов сил, приложенных к этому эле- менту, равна нулю, то есть

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Для определения константы интегрирования C обозначим момент сил трения на внутреннем цилиндре радиуса Ri и единичной высоты через M.

то есть получаем дифференциальное уравнение вращательного движения жидкости в кольцевом зазоре.

Для интегрирования уравнения (16.31) примем, что внутренний ци- линдр покоится, а внешний вращается с угловой скоростью Ω . Тогда, с учетом пристенного скольжения, можем для скорости течения на по- верхности внутреннего цилиндра радиуса Ri записать

где τ e – напряжение сил трения на поверхности внешнего цилиндра. Так

Ri

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

или, с учетом формул (16.27), (16.30) и (16.32),

Выражение (16.34) дает закон распределения скоростей по радиусу. Из этого закона и формулы (16.33) получаем

§6. Интегральный метод в вискозиметрии

Интегральный метод в вискозиметрии заключается в том, что на осно- вании тех или иных физических предположений заранее задается вид функций f (τ ) и s(τ a) . Это позволяет вычислить интегралы в уравнениях (16.24) и (16.35) и получить, с учетом формул (16.20) и (16.30) теоретиче- ские зависимости вида

Q = Q(∆ p,α 1,α 2 , ...,α n )

для течения в трубе и

Ω = Ω (M,α 1,α 2 , ...,α n )

для течения в кольцевом зазоре, где α 1,α 2 , ...,α n

метры (константы в функциях f (τ ) и s(τ a) ) рассматриваемой жидкости. Пусть теперь при эксперименте на капиллярном вискозиметре полу-

чено n пар значений Qj , ∆ pj . Подставив эти значения в формулу (16.36),

получим n уравнений для определения численных значений n реологичес- ких параметров α 1,α 2 , ...,α n . Аналогично, получив на ротационном виско- зиметре n пар значений Ω j , Mj и подставив их в равенство (16.37), полу-

чим опять n уравнений для определения реологических параметров жид- кости. Очевидно, что значения реологических параметров, найденных пу- тем измерений на обоих типах вискозиметров, должны совпадать между со- бой. Несоблюдение этого условия свидетельствует о том, что принятые зави- симости f (τ ) и s(τ a) не описывают поведения рассматриваемой жидкости.

Перейдем к рассмотрению некоторых простейших примеров.

I.Вязкая ньютоновская жидкость. Для такой жидкости в соответствии

сформулой (16.12) имеем

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

322 ГЛАВА XVI

Подставив эти выражения в равенство (16.23), с учетом соотноше- ний (16.20) получим

легко видеть, что формулы (16.39) и (16.40) совпадают с полученными ра- нее выражениями (9.29) и (9.31). Поскольку значения a и l для капилляр- ного вискозиметра известны, то из формулы (16.40) следует, что для опре- деления величины динамического коэффициента вязкости достаточно сде- лать одно измерение величин ∆ p и Q.

Для ротационного вискозиметра в соответствии с формулами (16.30), (16.34), (16.38) получим закон распределения скоростей в кольцевом зазо- ре в виде

Так как радиусы Ri и Re известны, то так же, как и в случае капил- лярного вискозиметра, для определения достаточно сделать одно изме- рение пары значений Ω , M.

II.Жидкость Бингама–Шведова. Для такой жидкости в соответствии

сформулой (16.16)

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Подставив выражение (16.42) в формулу (16.23), получим

«ядро течения», в котором все частицы движутся с одинаковой скоростью, то есть как твердое тело (рис. 16.10).

Можно показать, что наличие ядра течения присуще любой жидкости с на- чальным напряжением сдвига, а не

только жидкости Бингама–Шведова.

Рис. 16.10

Подставив соотношение (16.42) в фор- мулу (16.24), получим

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

лу Пуазейля (16.40). Из формул (16.47) и (16.48) видно, что для определе- ния констант τ 0 и η необходимо измерить две пары значений ∆ p, Q .

Рассмотрим теперь течение жидкости Бингама–Шведова в кольцевом зазоре ротационного вискозиметра. Так как Ri < Re , то в соответствии с формулой (16.30) всегда τ e < τ i . Поэтому до тех пор, пока τ i ≤ τ 0 , то

есть в соответствии с формулой (16.30) M ≤ 2π Ri2τ 0 = M0 , сдвига не про-

кость будет вести себя как твердое тело, то есть вращаться с постоянной угловой скоростью. Подставив выражение (16.42) в формулу (16.34), с уче- том равенства (16.30) получим

личина r0 и, следовательно, область, охваченная сдвиговым течением, воз- растают. При τ 0 > τ e сдвиговым течением охвачен весь интервал Ri < r < Re , и в соответствии с формулами (16.30) и (16.35) угловая скорость вращения внешнего цилиндра равна

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts