гидромеханика нефти

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Так как ϕ α в однородной пористой среде – постоянная величина, все дальнейшие выкладки остаются теми же, что и выше, и конечный резуль- тат, учитывающий то, что пористость не равна просветности, приводит к равенствам

Формулы (20.8В) и (20.9В) отличаются от обычно используемых (20.8А) и (20.9А) на величину структурного коэффициента ϕ α , значения которого удовлетворяют неравенству ϕ α ≥ 1. Поэтому учет структурного коэффи- циента приводит к уменьшению времени движения «меченых частиц».

Еще одной важной характеристикой, используемой при решении при- кладных задач, является средневзвешенное по объему порового простран-

ства пластовое давление , которое обычно определяется по формуле p

где Vп – общий объем порового пространства пласта. Однако подобное оп- ределение является не совсем корректным. В самом деле, согласно опреде- лению пористости ( m = dVП dV ) объем пор представляется функцией вида

Vп = ∫ mdV ,

V

которая определена на том же множестве «физических точек», что и объем пласта V , по которому непрерывно «размазаны» пустоты. Поэтому кор- ректное определение (20.10) должно выглядеть следующим образом

V

то есть необходимо изменить область, по которой ведется интегрирование. Понятно, что можно ввести и другую характеристику – среднее по пласту давление

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Введенные характеристики можно сравнить. Для однородного пласта ( dVП = mdV и m = const) имеем

Следовательно, для однородного пласта среднее по пласту давление равно средневзвешенному по объему пор. Если же пласт не является одно- родным, то среднее по пласту давление может и не совпадать со средне- взвешенным по объему пор:

Подставим теперь формулу (20.4) для распределения давления в пла- сте в выражение (20.11) и вычислим средневзвешенное по объему пор давление (которое в данном случае равно среднему по пласту давлению)

Таким образом, основные фильтрационные характеристики при пря- молинейно-параллельной фильтрации несжимаемой жидкости определяются формулами (20.4). (20.8А), (20.8В) и (20.13).

§3. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Фильтрация установившаяся. Боковая поверхность, через которую происхо- дит приток, называется контуром питания. Система уравнений остается прежней и в безиндексной форме представляется уравнениями (20.1). При проектировании уравнений (20.1) на цилиндрическую систему координат (см. приложение П.52) получим

Обратим внимание на то, что в проекции закона Дарси (второго равенст- ва (20.15)) на координатную ось r знаки в левой и правой частях совпада- ют. Это обусловлено тем, что движение происходит к скважине, и скорость фильтрации проектируется со знаком «минус».

Проинтегрируем первое уравнение r dpdr = C , и далее, разделяя пере-

менные и интегрируя последнее выражение, получим

rc

Очевидно, что оба выражения (20.16) и (20.17) эквивалентны.

Для нахождения константы C можно поступить следующим обра- зом. Умножим формулу для скорости фильтрации (20.15) на площадь боковой поверхности цилиндра произвольного радиуса r (rC ≤ r ≤ RK )

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

в (20.16) и (20.17), получаем формулы для распределения давления в пла- сте

для второго, можно получить выражение для дебита (объемного расхода) сква- жины

rc

Равенство (20.19) называется формулой Дюпюи, по имени ее автора – французского инженера гидравлика XIX века.

С помощью формулы Дюпюи равенства (20.18) для распределения дав- ления в пласте можно преобразовать к виду

Формулы (20.18) и (20.20), очевидно, эквивалентны, и из них следует, что давление в пласте распределено по логарифмическому закону. Поэтому

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

искорость фильтрации (с той лишь разницей, что давление при приближе- нии к скважине резко уменьшается, а скорость резко возрастает). Подобное поведение скорости можно установить при анализе связывающей скорость

ирасход формулы

2π h r

Из физических соображений подоб- ное поведение функций, определяющих изменение в пласте давления и скорости фильтрации, легко объяснимо. В самом деле, через любую цилиндрическую по- верхность, концентрично расположен- ную относительно скважины, в единицу времени протекает один и тот же объем несжимаемой жидкости ( Q = const ). По-

скольку вблизи контура питания пло- щадь боковой поверхности цилиндра Рис. 20.6. Зависимость скорости

очень велика, скорости там малы. При фильтрации жидкости в плоскора- приближении к скважине площадь по- диальном потоке от радиуса

верхности постоянно уменьшается, а скорость возрастает (см. рис. 20.6). Чтобы скорость возрастала необходимо

увеличение градиента давления, которое и имеется по построенному решению. Как следует из формулы Дюпюи, уравнение индикаторной линии при плоскорадиальном потоке так же, как и в случае фильтрации в галерее, за-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Получим теперь расчетные соотно- шения для определения времени движения «меченой частицы» в плоскорадиальном потоке. Как и в случае прямолинейно- параллельной фильтрации, рассмотрим два варианта. В первом варианте положим, что пористость равна просветности, во

Рис. 20.7. Индикаторная линия втором внесем коррективы, которые сле- для потока несжимаемой жидко- дуют из уточнения понятия просветности. сти по закону Дарси Согласно формулам (20.7А) и (20.21) для

определения времени движения «меченой частицы» от контура питания до произ-

вольной точки пласта имеем уравнение

Разделив переменные в этом дифференциальном уравнении и проинтегри- ровав его с пределами интегрирования от 0 до произвольного момента времени t1 и от радиуса контура питания до r1 , получим соотношение

Введение вместо пористости просветности, как и в случае прямоли-

нейно-параллельной фильтрации, приводит к появлению в формулах (20.23) и (20.24) структурного коэффициента

Далее определим средневзвешенное по поровому пространству давле- ние при плоскорадиальной фильтрации. Для этого подставим в равенство (20.10) формулу для распределения давления (20.20) и получим

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Преобразуем полученное выражение, добавляя и вычитая в квадрат- ных скобках выражение Rk2 ln rc 2 . В результате очевидных преобразова- ний получаем

можно пренебречь и переписать выражение для среднего по поровому пространству давления в виде

§4. Радиально-сферическая фильтрация несжимаемой жидкости

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

422 ГЛАВА XX

установившееся, и поверхность полусферы представляет собой контур пи- тания. Можно еще принять, что вскрытие кровли пласта имеет форму по- лусферы, вектор скорости фильтрации в любой точке пласта между конту- ром питания и забоем скважины направлен к центру сферы. В этом случае задача имеет сферическую симметрию, и ее удобно решать в сферической системе координат.

Система уравнений для решения задачи остается прежней и в безин- дексной форме представляется уравнениями (20.1). В сферической системе координат (см. приложение П.53) уравнения (20.1) имеют следующий вид

При сделанном предположении о сферической симметрии процесса все искомые функции зависят только от r . В этом случае система уравне- ний (20.26) упрощается и принимает вид

Интегрирование первого уравнения системы (20.27) приводит к равенству

r2 dp = C , dr

где С – постоянная интегрирования. Разделяя переменные и интегрируя, получим

Для определения С можно в последнем равенстве положить r = rc . В ре- зультате будем иметь

C = ( pk − pc) (1 rc − 1 Rk) ,

но так как Rk >> rc , можно положить

C = rc ( pk − pc) ,

и формула для распределения давления примет вид

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Остальные параметры радиально-сферического фильтрационного те- чения могут быть получены аналогично тому, как это сделано в двух пер- вых случаях рассмотренных одномерных течений.

В заключение отметим одно обстоятельство. Нетрудно заметить, что оператор Лапласа для всех трех рассмотренных случаев одномерных тече- ний можно записать с помощью единой формулы

где показатель степени α = 0,1, 2 и может быть назван коэффициентом фор- мы. При α = 0 имеем прямолинейно-параллельное течение (ξ = x) , при α = 1 плоскорадиальное течение (ξ = r) , при α = 2 радиально-сферическое тече- ние (ξ = r) . Однако, используя общую для всех трех случаев запись, нельзя получить универсальную форму представления решений, потому что инте- грал, задающий распределение давления, вычисляется неоднозначно:

Но представление (20.29) можно использовать как мнемоническое пра- вило для запоминания вида оператора Лапласа в разных вариантах одно- мерных течений.

§5. Аналогия между фильтрацией несжимаемой жидкости и газа

Решения, которые получены в предыдущем параграфе для одномер- ных схем течения, справедливы при фильтрации несжимаемой жидкости. Обобщим их на случай фильтрации газа. Для этого рассмотрим математи- ческие модели установившейся фильтрации несжимаемой жидкости и газа и установим между ними аналогию. Системы уравнений для моделей не- сжимаемой жидкости и газа имеют, как было показано в предыдущей главе (системы уравнений (19.10) и (19.18) без учета массовых сил, соответст-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

424 ГЛАВА XX

Переходя к функции Лейбензона, для чего нужно умножить закон Дарси в модели для газа на плотность и вместо ρ grad p записать grad P ,

а в уравнение неразрывности подставить закон Дарси, получим системы уравнений (19.11) и (19.19)

ρ = ρ ( p) .

Напомним, что уравнение состояния для газа считается известным. Из сравнения первых двух уравнений в моделях (20.30) видно, что они экви- валентны с точностью до замены искомых функций – давления p на функцию Лейбензона P и скорости фильтрации w на массовую скорость фильтрации ρ w. Поэтому если геометрия пласта и граничные условия в

постановках задач совпадают, то и решения имеют одинаковый вид. Таким образом, если в полученных ранее решениях для одномерных фильтраци- онных течений несжимаемой жидкости произвести указанную замену функций, то получим решения, которые будут справедливы при фильтра- ции газа. Например, решения для распределения давления в пласте и ско- рости фильтрации, полученные для прямолинейно-параллельного течения (20.4) несжимаемой жидкости, при фильтрации газа преобразуются сле- дующим образом:

Однако, чтобы получить явный вид выражений для распределения давления и массовой скорости при фильтрации газа, необходимо задать уравнение состояния. Понятно, что после подстановки функции Лейбензо- на, для каждого из уравнений состояния, рассмотренных в третьей главе, будем получать различные выражения для распределений давления и ско- рости, а также формулы для среднего по пласту давления. Поэтому далее рассмотрим каждый случай отдельно.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts