гидромеханика нефти
.pdfСПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
355 |
ких и стратиграфических нарушений (разрывов сплошности горной поро- ды). Разведка месторождений, исследование пластов, извлечение нефти
игаза осуществляются через отдельные скважины диаметром 10–20 см
иболее, отстоящие друг от друга на сотни, а иногда и тысячи метров. Кроме перечисленных особенностей фильтрации нефти и газа в при-
родных пластах, можно еще отметить следующее:
–невозможность изучать движение флюидов в пластах прямым при- менением классических методов гидродинамики, т.е. решением уравнений движения вязкой жидкости для области, представляющей собой совокуп- ность всех пор;
–сочетание значительно различающихся масштабов фильтрационных процессов, определяемых характерными размерами, отличающимися по величине на многие порядки: размер пор (единицы и десятки микромет- ров), диаметр скважин (десятки сантиметров), протяженность месторожде- ний (десятки километров); масштаб неоднородности пластов вдоль и попе- рек простирания может иметь практически любые значения;
–ограниченность и неточность сведений о строении и свойствах пла- ста и пластовых флюидов, что часто не позволяет построить однозначную модель флюидонасыщенной пластовой залежи.
Перечисленные особенности нефтегазовой подземной гидромеханики приводят к формулировке основных модельных представлений и разработ- ке методов, направленных прежде всего на установление качественных за- кономерностей процессов и на создание расчетных схем, мало чувстви- тельных к точности исходных данных. При этом познавательная и практи- ческая ценность результатов в значительной степени определяется четко- стью постановки расчетной задачи и глубиной предварительного анализа имеющихся данных.
§2. Исходные модельные представления подземной гидромеханики жидкости и газа
Нефтегазовая подземная гидромеханика, как уже отмечалось, является специальным разделом гидромеханики. Это означает, что при определении физических величин, характеризующих процесс фильтрации, и написании законов сохранения будет использоваться гипотеза сплошности, согласно которой изучаемые объекты (например, движущийся флюид) считаются заполняющими всю область (пространство, в котором ставится и решается задача) непрерывно. Но под пористой средой понимается множество твер- дых частиц, тесно прилегающих друг к другу, сцементированных или не- сцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) запол-
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
356 |
ГЛАВА XVIII |
нено жидкостью и/или газом. Таким образом, фильтрационное течение плас- товых флюидов представляет собой совокупность множества отдельных микродвижений в неупорядоченной системе поровых каналов (рис. 18.2). Следовательно, истинное фильтрационное течение не является «сплош- ным», и при определении физических характеристик вводятся эффектив- ные (фиктивные) величины, которые «размазываются» по всему объему непрерывным образом (рис. 18.3). Реальные скорости, давления и т.д., за- меняются на эффективные, которые представлены на рисунке в виде рав- номерной сетки из квадратов.
Рис 18.2. Схематическое представле- |
Рис. 18.3. Схематическое представле- |
ние пористой среды. 1 – поровые ка- |
ние эффективного описания |
налы, 2 – твердый скелет |
|
Из статистической физики известно, что системы типа пористых сред могут быть описаны как сплошные среды, эффективные свойства которых выражаются не через свойства отдельных составляющих элементов, а яв- ляются усредненными характеристиками достаточно больших объемов этих сред.
Переход к макроскопическому описанию процессов в подземной гид- ромеханике означает, что все вводимые характеристики и параметры, ис- пользуемые в постановке и решении задач, являются в общем случае функ- циями точек пористой среды. Выделение курсивом данного термина свя- зано с тем, что далее понятия пористой среды и точек пористой среды бу- дут употребляться в модельном смысле, то есть в смысле математической модели и характеристики математической модели, используемой для опи- сания физического процесса (в данном случае – фильтрации).
Понятия точки в математическом и физическом смыслах представля- ются совершенно разными объектами. Если вырезать объем пористой сре- ды и ввести систему координат, связанную с образцом, то каждому беско- нечно малому элементу объема можно приписать упорядоченную тройку
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
357 |
чисел, которые и будут задавать «математическую точку» пористой среды. Однако, объем «математической точки» настолько мал, что она всегда бу- дет полностью находиться или в поре (тогда, например, скорость флюида отлична от нуля), или в твердом скелете (тогда скорость флюида будет равна нулю). Поэтому при вычислении физических модельных характерис- тик в подземной гидромеханике используется «физическая точка». Под «физической точкой» подразумевается такой объем пористой среды, кото- рый является достаточно большим для того, чтобы вводимая физическая характеристика не зависела от объема образца, но достаточно малым по сравнению со всей областью, в которой вводится эта характеристика. По- следнее обстоятельство – малость объема образца по сравнению со всей рассматриваемой областью – позволяет говорить о том, что рассматривает- ся физически бесконечно малый объем – «физическая точка». Объем по- ристой среды, который можно принять за физическую точку, называется элементарным или представительным объемом. Все вводимые далее ха- рактеристики будут определяться на элементарных объемах и для элемен- тарных объемов. Рассмотренная ситуация с введением физических и мате- риальных характеристик в подземной гидромеханике представляется обыч- ной для всех моделей механики сплошных сред. Например, газ так же, как и жидкость, состоит из отдельных молекул и атомов. Поэтому при введе- нии в гидромеханике и газовой динамике физических характеристик также рассматриваются физические точки, но величины элементарных объемов много меньше, чем в подземной гидромеханике. В самом деле, в кубике воздуха с ребром 10-3 мм при нормальных условиях содержится 27·106 мо- лекул, и элементарный объем составляет доли миллиметра. В подземной гидромеханике вместо молекул, например, в песчанике, выступают пес- чинки, и элементарный объем может составлять уже кубические сантимет- ры, а для других типов коллекторов десятки кубических сантиметров и даже метров. Однако по сравнению с объемом залежи элементарный объем все равно очень мал. Подобное введение характеристик практически все- гда возможно.
§3. Фильтрационно-емкостные свойства пористых сред. Коэффициенты пористости и просветности. Удельная поверхность
Понятно, что фильтрация определяется свойствами флюида и пустотно- го пространства (типа грунта или коллектора), в котором она происходит. Поэтому перейдем к определению емкостных и фильтрационных характерис- тик пористой среды. Одной из важнейших характеристик пористой среды яв- ляется пористость, которую в дальнейшем будем обозначать через m.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
358 |
ГЛАВА XVIII |
Под пористостью однородного пустотного пространства понимают от- ношение объема пустот Vп образца пористой среды ко всему объему об- разца V :
m = |
Vп |
. |
(18.1) |
|
|||
|
V |
|
|
Таким образом, определенная пористость постоянна для всех точек однородной пористой среды. В случае неоднородной пористой среды со- отношение (18.1) определяет среднее значение пористости в образце. Зна- чение пористости в физической точке М для неоднородной пористой сре- ды будет определяться выражением
m(M ) = lim |
|
∆ Vп |
= |
dVп |
. |
(18.2) |
|
|
|
||||
∆ V → |
0 ∆ V |
dV |
|
|||
Следовательно, в общем случае пористость является скалярной функ- цией точки (физической точки).
В физике нефтегазового пласта различают полную и эффективную пористость. При определении эффективной пористости учитываются лишь соединенные между собой поры, которые могут быть заполнены жидкос- тью извне. При изучении процессов фильтрации важна именно эффектив- ная пористость. Поэтому в дальнейшем под пористостью будем понимать активную или эффективную пористость.
Другой важной характеристикой пористой среды является просвет- ность или поверхностная пористость, которую в дальнейшем будем обо- значать через s . Под просветностью плоского сечения однородной порис- той среды понимают отношение площади просветов в сечении к площа- ди S всего сечения:
Рис. 18.4. Изменение ори- ентации сечения и вектора нормали
s(n) = |
Sп |
(18.3) |
|
S
В случае неоднородной пористой среды со- отношение (18.3) определяет среднее значение просветности в сечении, а значение просветно- сти в физической точке М будет определяться выражением:
s(M, n) = lim |
∆ Sп |
= |
dSп |
. (18.4) |
|
|
|||
∆ S→ 0 |
∆ S |
dS |
||
Понятно, что значения пористости и про- светности могут изменяться в пределах от еди- ницы до нуля. Крайние значения этого интерва- ла, очевидно, являются чисто модельными.
В соотношениях (18.3) и (18.4) n – вектор нормали к плоскости сечения. Из приведенных
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
359 |
определений и соотношений следует, что просветность в точке пористой среды зависит не только от точки, но и от ориентации сечения. Сле- довательно, просветность, в приведенном определении, является скаляр- ной функцией векторного аргумента. Уже одно это показывает, что порис- тость и просветность являются различными математическими объектами, хотя между ними, очевидно, существует связь, но обычное отождествление этих понятий является ошибочным. Понятие просветности является более сложным, чем обычно оно трактуется в ряде учебных пособий и монографий.
В самом деле, обычно после введения с помощью равенства (18.3) по- нятия просветности следует утверждение о том, что среднее по всем на- правлениям значение просветности равно пористости, но из этого верного утверждения делается неверный вывод: «поэтому в дальнейшем между двумя этими понятиями не будет делаться никаких различий». Однако данное выше определение просветности имеет более сложный физический смысл, чем тот, который обычно вкладывается в это понятие, а то обстоя- тельство, что среднее по всем направлениям значение просветности равно пористости, не является достаточным для отождествления этих понятий. Развитие понятия просветности и доказательство невозможности отождест- вления его с пористостью будет дано далее, при рассмотрении результатов опыта Дарси и определении скорости фильтрации.
Еще одной часто используемой и важной характеристикой пористой среды является удельная поверхность пор, приходящаяся на единицу объ- ема пористой среды. Под удельной поверхностью пор Σ , рассчитанной на единицу объема пористой среды, понимают отношение площади поверх- ности пустотного пространства пористой среды Sп ко всему объему по- ристой среды V :
Σ = |
Sп |
. |
(18.5) |
|
|||
|
V |
|
|
Как следует из определения (18.5), удельная поверхность пор в отли- чие от пористости и просветности, которые, по определению, безразмерны, является размерной характеристикой с размерностью м–1.
§4. Опыт и закон Дарси. Проницаемость. Понятие «истинной» средней скорости и скорости фильтрации
Обратимся теперь к описанию движения жидкости в пористой среде. Первые экспериментальные наблюдения за движением воды в трубах, за- полненных песком, произвели А.Дарси (1856 г.) и Ж.Дюпюи (1848–1863 гг.). Этими работами было положено начало теории фильтрации. Именем Дар- си назван линейный закон фильтрации, который он установил будучи мэ-
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
360 |
|
|
|
ГЛАВА XVIII |
|
ром города и создавая первую совершенную |
систему водоснабжения |
||||
в г. Дижоне (Франция). |
|
|
|
|
|
Анри Дарси исследовал течение воды |
|||||
через вертикальные песчаные фильтры (см. |
|||||
рис. 18.5). В результате тщательно прове- |
|||||
денных экспериментов был установлен по- |
|||||
лучивший широкую известность закон |
|||||
Q = kФ |
H1 − |
H2 |
S = kî |
∆ H |
S, (18.6) |
L |
|
|
|||
|
|
|
L |
||
где Q – объемный расход жидкости через |
|||||
песчаный фильтр, |
длина которогоL, а пло- |
||||
щадь сечения S, ∆ |
H = H1 − H2 – разность |
||||
гидравлических напоров воды над фильт- |
|||||
ром и у его основания, kФ – коэффициент |
|||||
пропорциональности. Коэффициент про- |
|||||
порциональности в формуле (18.6) перво- |
|||||
Рис. 18.5. Установка Анри Дар- начально был назван коэффициентом водо-
си для исследования течения во- |
проницаемости, |
а затем коэффициентом |
ды через вертикальные песча- |
фильтрации, который зависит как от при- |
|
ные фильтры |
роды пористой |
среды, так и от свойств |
|
фильтрующейся жидкости. Как уже отмеча- |
|
лось, скорости фильтрации очень малы (порядка 10–4–10–5 м/с и менее), по- этому скоростными напорами при вычислении гидравлических напоров в равенстве (18.6) пренебрегают:
H = |
α v2 |
+ |
p |
+ z ≈ |
p |
|
+ z. |
(18.7) |
2g |
ρ g |
|
|
|||||
|
|
|
ρ g |
|
||||
В равенстве (18.7) используются общепринятые в технической гидро- |
||||||||
механике обозначения: vα – средние скорости в капилляре, α i |
– коэффи- |
|||||||
циенты Кориолиса (в нашем случае α 1 = α 2 |
= |
2 ), p – давление, z – гео- |
||||||
метрический напор, ρ – плотность жидкости, |
|
g – ускорение свободного |
||||||
падения.
Коэффициент фильтрации, как следует из равенства (18.6), имеет раз- мерность скорости и характеризует скорость потока через единицу площа- ди сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного гра- диента напора.
Коэффициент фильтрации kî используется обычно в гидротехничес- ких расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При исследовании фильтрации газа, нефти и их смесей необходимо разделить
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
361 |
влияние свойств пористой среды и флюида. Поэтому для разделения свойств флюида и пористой среды равенство (18.6) представляют в ином виде
|
Q = |
|
k |
ρ g |
∆ |
H |
|
S |
(18.8) |
|||
|
µ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
k |
|
p1* − |
p2* |
S , |
(18.9) |
|||||
|
µ |
|
|
|
L |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
– коэффициент динамической |
вязкости флюида, |
p* = ρ gH= |
|||||||||
= p+ |
ρ gz – приведенное давление, |
k – коэффициент проницаемости, ко- |
||||||||||
торый не зависит от свойств жидкости и является динамической характе- ристикой только пористой среды. Размерность коэффициента проницаемос- ти определяется из формулы
[k] = [Q][µ ][L] = M3C− 1ПаCM = M2 |
|
[∆ p* ][Ω ] |
ПаM2 |
и равна размерности площади, то есть в системе единиц измерения СИ – метр в квадрате. Проницаемость большинства горных пород выражается весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10–12 –10–13 м2 (1 – 0,1 мкм2), проницаемость плотных песчани- ков – 10–14 м2 (0,01мкм2). В виду этого в нефтепромысловой практике по- лучила распространение единица измерения проницаемости 1 Д (Дарси) = = 1,02 10–12 м2.
Из сравнения равенств (18.6) и (18.8) следует, что коэффициент фильт- рации и коэффициент проницаемости связаны между собой соотношением
kФ = |
ρ g |
k. |
(18.10) |
|
µ |
||||
|
|
|
Коэффициент фильтрации kФ или коэффициент проницаемости k определяют экспериментально на специальном приборе – пермеаметре, содержащем образец исследуемого грунта (рис. 18.6). Общий расход Q фильтрационного потока поддерживается постоянным, напоры H1 и H2 измеряются двумя пьезометрами, соединенными с пористой средой в сече- ниях 1 и 2. Превышение центров сечений над плоскостью сравнения равны z1 и z2 , а давления – p1 и p2 ; расстояние между сечениями по оси цилинд- ра составляет L.
В соответствии с формулами (18.6) или (18.8) имеем |
|
||||
kÙ = |
Q |
|
k = |
Q |
, |
S(∆ H L) |
или |
Sρ g(∆ H L) |
|||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
362 |
ГЛАВА XVIII |
Рис. 18.6. Схема пермеаметра
где перепад напора, приходящийся на единицу длины (модуль градиента давления), можно представить в виде
∆ H |
= |
z1 − z2 |
+ |
p1 − p2 |
= |
p1 − p2 |
. |
|
|
|
|
||||
L |
|
L |
ρ gL |
ρ gL |
|||
Впромысловых условиях коэффициент проницаемости определяется
врезультате специального исследования скважин, в котором также исполь- зуется устанавливаемая в опыте связь между изменением давления в сква- жинах и их дебитом.
Обычно соотношения (18.6) или (18.9) называют законом Дарси. Од- нако, эти соотношения представляют собой следствие из закона Дарси – решение одной из простейших задач одномерного течения, реализуемого
впермеаметре или установке типа установки А.Дарси. Сам же закон Дарси связывает между собой вектор скорости фильтрации и градиент фильтра- ционного давления и будет рассмотрен далее, после введения понятия ско- рости фильтрации.
|
Разделим обе части равенства (18.9) на пло- |
||||||||
|
щадь сечения S и получим |
∆ p |
|
|
|||||
|
w = |
Q |
= |
k |
|
. |
(18.11) |
||
|
|
µ |
|
||||||
|
|
S |
|
L |
|
||||
|
Выражение w = Q S |
имеет |
размерность |
||||||
|
скорости и определяет модуль вектора скорости |
||||||||
Рис. 18.7. Схема к опреде- |
фильтрации. При определении расхода считает- |
||||||||
лению скорости фильтра- |
ся, что вектор скорости фильтрации направлен |
||||||||
ции |
перпендикулярно плоскости (галерее), через ко- |
||||||||
торую фильтруется флюид (рис. 18.7). Поэтому |
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если через n обозначить единичный вектор, перпендикулярный этой по- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
верхности (или параллельный скорости), то будем иметь w = |
wn. Отличие |
||||||||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
363 |
вектора w от обычной скорости состоит в том, что скорость фильтрации – фиктивная скорость, так как она, по своему смыслу, определена в любой точке сечения пористой среды – и в порах, и в твердом скелете, в то время как на самом деле течение происходит только по поровым каналам с неко- торой «истинной средней скоростью» v. Понятно, что между скоростя- ми w и v существует связь, которая следует из равенства расхода, проте- кающего с истинной средней скоростью через площадь просветов и все се- чение в целом со скоростью фильтрации
wS = vSпор = Q.
Эта связь, следующая из последнего равенства, такова
|
|
|
= |
|
(18.12) |
w = |
wn = |
sv |
svn . |
Таким образом, скорость фильтрации равна истинной средней скоро- сти умноженной на просветность. Но заменять просветность на пористость в равенстве (18.12) нельзя.
Для доказательства сделанного утверждения используем следующие рассуждения. Соотношение (18.12) справедливо в предположении, что фильтрационные свойства пористой среды изотропны и однородны, то есть проницаемость не зависит от направления и постоянна для всех то- чек. Если предположить, что пористая среда однородна, но анизотропна, то можно проделать следующий эксперимент. Вырежем куб, грани ко- торого будут перпендикулярны главным направлениям проницаемости (то есть при приложении градиента давления перпендикулярно граням куба векторы скорости фильтрации также будут перпендикулярны граням ку- ба). Введем декартову систему координат, оси которой направлены вдоль ребер куба, и проделаем серию экспериментов, направляя фильтрацию по- следовательно вдоль каждой оси. В результате для каждого эксперимен- та получим
|
Q k |
|
∆ p |
|
Qy |
|
ky ∆ p |
|
Q k |
|
∆ p |
||||||||
w = |
|
x |
= |
x |
|
|
, w = |
|
= |
|
|
|
, w = |
z |
= |
z |
|
|
, |
|
|
|
|
L |
S |
L |
|
|
|
||||||||||
x |
S |
|
y |
|
z |
S |
|
L |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где wx, wy, wz |
– компоненты вектора скорости фильтрации, |
Qx , Qy, Qz |
|||||||||||||||||
и kx, ky, kz – значения расходов и проницаемостей вдоль соответствую-
щих координатных осей. Таким образом, при одинаковых перепадах давле- ния и площади сечения образца (галереи) в общем случае необходимо вво- дить разные значения просветности при построении связи между скоро- стями фильтрации и средними истинными скоростями, то есть принять соотношения
wxS = vxSxпор , wyS = vySyпор , wzS = vzSzпор
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
364 |
ГЛАВА XVIII |
или |
|
wx = sxvx , wy = syvy , wz = szvz , |
(18.13) |
где vx , vy, vz и sx, sy, sz – значения истинных средних скоростей и про-
светностей вдоль соответствующих координатных осей. В самом деле, связь (18.12) задает линейную зависимость между двумя векторами, ко- торая в наиболее общем виде при записи в главных осях задается форму- лой
w |
|
|
1 |
|
= |
w2 |
|
|
|
|
|
w3 |
|
|
s |
0 |
0 |
v |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
s2 |
0 |
v2 |
. |
(18.14) |
||
|
0 |
0 |
s |
v |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
Частный случай равенства (18.14) – s1 = s2 = s3 = s приводит к со- отношению (18.12), а в общем случае имеем матрицу коэффициентов про- светности.
Таким образом, при переходе от средних истинных скоростей к ско- ростям фильтрации необходимо использовать не скалярную функцию векторного аргумента, которая выше была определена как просветность, а матрицу.
Переход от экспериментального соотношения (18.9) к равенству (18.11) показывает, что в эксперименте А.Дарси была установлена линей- ная зависимость между двумя векторными характеристиками – вектором скорости фильтрации и вектором градиента фильтрационного давления в однородном, изотропном, недеформируемом пласте (пористой среде). Однако равенство (18.11) представлено в скалярном виде, поэтому нужно восстановить его в векторной форме записи.
В случае изотропных фильтрационных свойств векторы скорости фильт- рации и градиента фильтрационного давления лежат на одной прямой. По- этому, если умножим равенство (18.9) на орт n , задающий направление фильтрации, получим
|
|
k ∆ p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
w = |
wn = |
|
n . |
(18.15) |
|||
|
|
|
|
||||
L |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
В равенстве (18.15) множитель ∆ p 
L представляет собой модуль градиента давления при линейном законе распределения давления. Следо- вательно, дальнейшее обобщение экспериментального результата приво- дит к векторному уравнению вида
w = − k grad p . |
(18.16) |
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts