гидромеханика нефти
.pdfСПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
385 |
типам и относятся, но при решении задач обычно рассматриваются два первых. Специальных названий два последних типа не имеют. Подстанов- ка матриц (18.50) в равенство (18.45) или (18.46) дает явный вид закона Дарси для всех типов анизотропии.
Равенства (18.43) представляют собой систему линейных алгебраичес- ких уравнений, которая может быть разрешена относительно компонент вектора grad p и переписана в виде
∂ p |
= − rij wj . |
|
∂ xi |
||
|
В этом случае фильтрационные свойства определяет и задает симмет- ричная матрица коэффициентов фильтрационного сопротивления rij . Яв-
ный вид матриц rij , для всех рассмотренных случаев анизотропии и изо-
тропии, такой же, как и у матриц коэффициентов проницаемости, с точно- стью до замены kα , kαβ на соответствующие компоненты rα , rαβ .
Все соотношения (18.49) и (18.50), представленные в виде матриц, до- пускают и другую, индексную форму записи. Для индексного представле- ния законов фильтрации в анизотропных пористых средах введем понятие диадного произведения двух векторов (см. приложение П.68)
|
|
a1b1 |
a1b2 |
|
|
|
|
|
≡ aibj |
≡ a2b1 a2b2 |
|
ab |
|||
|
|
|
a3b2 |
|
|
a3b1 |
|
a1b3
a2b3 , (18.51) a3b3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ai, bi |
– компоненты векторов a |
и b . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее в качестве векторов |
|
и b возьмем векторы декартова бази- |
||||||||
a |
||||||||||
са e , e |
, e |
3 |
, координаты которых обозначим через e |
(1) |
, e( 2) |
, e( 3) |
, соответст- |
|||
1 2 |
|
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
венно. Нетрудно убедиться, что с помощью базисных тензоров можно со- ставить девять диад, которые будут представлять собой девять специаль- ных матриц типа (2.9), у которых все компоненты, кроме одной будут рав- ны нулю, единственная отличная от нуля компонента будет стоять на « ij -й позиции» при умножении i -го базисного вектора на j -й базисный вектор. В самом деле, рассмотрим для примера диадное произведение e1 на e2 .
Тогда имеем e |
(1) |
= |
(1,0,0), e ( 2) |
= (0,1,0) , |
и, |
согласно определению (18.51), |
||
|
i |
|
j |
|
|
|
|
|
матрица для этой диады будет представляться соотношением |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
e1e2 = |
ei(1)e(j2) = |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
386 ГЛАВА XVIII
Используя диадные произведения базисных векторов, матричное пред- ставление можно переписать в индексной форме, разложив матрицы по ба-
зису из диад e(k)e( l) . Например, для самого общего типа анизотропии такое |
||||||||||||
|
|
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представление будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
(1) ( 1) |
|
( 1) ( 2) |
( )2 |
( ) 1 |
(2) ( 2) |
|
( 3) ( )3 |
|
|||
wi = − |
|
[k11ei |
ej |
+ |
k12 (ei ej |
+ ei |
ej ) + |
k22ei ej |
+ |
k33ei ej |
+ |
|
µ |
||||||||||||
|
|
+ k13 (ei(1)e(j3) |
+ e(i 3) e( j)1 ) + k23 (ei(2)e(j3) |
+ e(i 3) e( j2) )] |
∂ p |
|
(18.52) |
|||||
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ xj |
|
|
Уменьшая число отличных от нуля коэффициентов тензора kij , можно
получить закон фильтрации для любого типа анизотропных и изотропных пористых сред. Например, для ортотропных сред закон фильтрации будет иметь вид
wi = − µ1 [k1ei(1)e(j1) +
для трансверсально-изотропных – wi = − µ1 [k1ei(1)e(j1) +
для изотропных –
wi = − µk [ei(1)e(j1)
|
( 2) ( 2) |
+ |
|
( )3 |
( )3 |
] |
∂ p |
, |
(18.53) |
|
|
k2ei ej |
k3ei |
ej |
|
|
|||||
|
∂ xj |
|||||||||
|
( 2) ( 2) |
+ |
|
( )3 |
( )3 |
] |
∂ p |
, |
(18.54) |
|
|
k1ei ej |
k3ei |
ej |
|
|
|||||
|
∂ xj |
|||||||||
+ |
( 2) ( 2) |
+ |
( )3 |
( )3 |
] |
∂ p |
|
|
||
ei ej |
ei |
ej |
|
. |
|
(18.55) |
||||
∂ xj |
|
|||||||||
Последнее выражение можно преобразовать, заметив, что в квадрат- ных скобках стоят три матрицы, которые в сумме дают единичную матрицу
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
. |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
Для обозначения единичной матрицы используется специальный сим- вол δ ij , который называется дельтой Кронекера. Поэтому последнее равен-
ство (18.55) можно переписать в виде
wi = − kµ δ ij ∂∂ p xj
или, после проведения суммирования –
|
= − |
k ∂ p |
|||
wi |
|
|
|
. |
|
µ |
|
||||
|
|
|
∂ xi |
||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ФИЛЬТРАЦИИ |
387 |
Используя правило вычисления направленной проницаемости (18.48), несложно вычислить ее для самого общего случая (18.50):
|
|
|
|
|
( ) ( ) |
|
|
|
( ) |
( ) |
|
( ) |
|
( ) |
1 |
|
|
( ) |
( ) |
|
( ) |
( ) |
||||||||||
k n n |
|
= |
k e |
|
1 |
e |
1 |
+ |
k |
|
e |
1 |
e |
2 |
e |
2 |
e |
|
+ |
k e |
2 |
e+ |
2 |
k e |
3 |
e+ |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ij i |
j |
|
|
11 |
i |
|
|
j |
( ) |
12 ( |
|
i |
|
j |
|
|
i |
|
|
j |
|
) |
22 |
i |
j |
|
33 |
i |
|
j |
||
|
|
|
+ k e |
e( ) + |
|
e( ) |
e( ) |
|
+ k e( ) e( +) |
e( ) |
e( ) |
|
n n= |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 ( |
|
1 |
3 |
|
|
3 |
|
1 |
) |
|
23 ( |
2 |
3 |
|
3 |
2 |
) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
i |
|
j |
|
|
i |
j |
|
i |
j |
i |
j |
|
||||||||||
|
|
|
+ |
k11 cos2 α |
+ |
2k12 cosα |
|
|
cos β+ |
k22 cos2β+ |
k33 cosγ2+ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
2k13 cos α |
cosγ |
|
+ |
|
2k23 cos β |
cosγ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
где α , β ,γ |
|
– углы, которые образует единичный вектор n с координатны- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ми линиями.
Уменьшая число отличных от нуля коэффициентов тензора kij , можно
поучить выражение для направленной проницаемости для любого типа ани- зотропных и изотропных пористых сред.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
Глава XIX
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
§1. Вводные замечания. Понятие о математической модели физического процесса
Для количественного описания реальных физических процессов ис- пользуются различные уравнения и методы их решения для конкретных задач. Как отмечалось выше, в качестве наиболее используемого и разра- ботанного метода такого описания процессов в подземной гидромеханике применяется макроскопический, в основе которого лежат гипотеза сплош- ности, законы и методы механики сплошной среды. Поэтому нефтегазо- вую подземную гидромеханику следует рассматривать как специальный раздел механики сплошной среды.
Повторим основные положения, используемые в механике сплошной среды при построении математических моделей, но с учетом специфики нефтегазовой подземной гидромеханики.
В сплошной среде определяются различные по своей физической при- роде поля, которые формируются под воздействием внешних и внутренних факторов и могут изменяться во времени и в пространстве. Изменение по- лей основных физических величин подчиняется законам сохранения, кото- рые представляют собой фундаментальные законы природы. В нефтегазо- вой подземной гидромеханике, как и в других разделах механики сплош- ной среды, основными законами сохранения являются законы сохранения массы, изменения количества движения (импульса) и момента количества движения (момента импульса), сохранения энергии и баланса энтропии. Однако законы сохранения выполняются для всех сплошных сред, свойст- ва которых могут быть весьма различными. Поэтому одних законов сохра- нения для описания физических процессов и решения конкретных задач недостаточно для получения замкнутой системы уравнений. Для того что- бы задать свойства конкретных сплошных сред, к законам сохранения до- бавляются определяющие уравнения и законы, которые задают особеннос- ти поведения данной среды. В результате объединения законов сохранения и определяющих уравнений получается замкнутая система уравнений, в ко-
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |
389 |
торой число уравнений равно числу неизвестных функций и которая опре- деляет и задает математическую модель сплошной среды, описывающую конкретные физические процессы.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением только таких процессов, для которых температура движущегося в пористой среде флюида равна температуре пористой среды и остается неизменной. Действительно, из-за того, что фильтрация представляет собой очень медленный процесс, изме- нение температуры флюида, возникающее в ходе движения вследствие на- личия сопротивления стенок поровых каналов и трещин, а также из-за рас- ширения флюида при уменьшении давления, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами. Для таких изотермиче- ских процессов, как было показано Б.Б.Лапуком, уравнение энергии можно не рассматривать.
Однако в ряде случаев при разработке нефтяных и газовых месторож- дений неизотермичность фильтрации проявляется локально в призабойной зоне скважин вследствие значительных перепадов давления. Изучение не- изотермических процессов имеет важное значение в связи с повышением нефтеотдачи путем закачки в пласт теплоносителей (горячей воды, пара), разработки газогидратных месторождений и в некоторых других случаях. При этом в модель должно быть добавлено уравнение закона сохранения энергии.
Для описания конкретных физических процессов и получения реше- ний соответствующих задач, необходимо сформулировать постановку за- дачи, то есть задать условия в начальный момент времени и условия на границах области пласта. В результате имеем дифференциальные уравне- ния с начальными и граничными условиями, интегрируя которые можно определить распределение давления и скоростей фильтрации по пласту в любой момент времени, т.е. построить функции
p = p (x, y, z, t) , |
wx = wx( x, y, z, t) , |
wy = wy (x, y, z, t) , |
wz = wz( x, y, z, t) . |
Если рассматривается несжимаемая жидкость (ρ = const) в недефор- мируемом пласте (m = const, k = const) , то число искомых функций огра- ничивается только этими четырьмя. Для описания фильтрации сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, кроме упомянутых функций, нужно определить еще плотность флюида ρ . Для более сложных процессов в число неизвестных функций включают вязкость µ , пористость m и про- ницаемость k . В этом случае необходимо иметь восемь уравнений – диф- ференциальных и конечных – для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости и пористой среды.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
390 |
ГЛАВА XIX |
Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений уда- ется получить лишь в ограниченном числе простейших случаев, например, в задаче о притоке упругой жидкости к скважине в пласте бесконечной протяженности с постоянным дебитом.
В более сложных случаях система уравнений решается численными методами с применением компьютеров. Существуют хорошо разработан- ные численные методы решения самых разнообразных и очень сложных задач подземной гидромеханики. Упомянутые аналитические решения иг- рают очень важную роль: на них опробуются численные методы.
Систему дифференциальных уравнений можно использовать также для качественного исследования процесса. Если полученные уравнения привести к безразмерному виду, то в качестве коэффициентов будут фигу- рировать безразмерные параметры подобия. Анализируя их строение и численные значения, можно судить о том, какие силы играют решающую роль в процессе, какие члены в уравнениях можно отбросить и т.д.
Перейдем теперь к формулировке основных законов сохранения с уче- том специфики подземной гидромеханики.
§ 2. Закон сохранения массы в пористой среде
При написании закона сохранения массы в интегральной формули- ровке воспользуемся контрольным объемом и вычислим массу флюида в контрольном объеме пористой среды.
Масса жидкости, содержащаяся в бесконечно малом (физическом) объеме пористой среды равна mρ dV . В самом деле, объем пор в элемен- тарном объеме пористой среды, равен dVп = mdV . Умножив его на плот- ность, получим массу флюида в элементарном объеме пористой среды –
dM = ρ dVп = ρ mdV .
Проинтегрировав выписанное соотношение по всему контрольному объему, получим массу флюида в контрольном объеме
M = ∫ mρ dV .
V
Так как через контрольную поверхность флюид может втекать и вы- текать (см. рис. 19.1), то масса флюида изменяется во времени. Изменение массы по времени вычисляется следующим образом
∂∂t M = ∂∂ t ∫ mρ dV .
V
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |
391 |
Рис. 19.1. К выводу закона сохранения массы
Изменение массы равно притоку массы через контрольную поверх- ность, который равен
∫ ρ vinidSП = ∫ρ winidS,
SП S
где ni – внешняя нормаль к контрольной поверхности.
Действительно, поток массы через элементарную площадку dS , по определению, равен
ρ wndS или ρ winidS,
то есть, равен скалярному произведению вектора массовой скорости и век- тора нормали к площадке, умноженному на величину площадки. Для вы- числения потока массы через всю поверхность нужно проинтегрировать эти элементарные потоки по всей поверхности.
Следовательно, можно составить балансовое уравнение
∂ |
∫ mρ dV = − |
∫ρ winidS, |
(19.1) |
∂ t |
|||
|
V |
S |
|
которое читается следующим образом: изменение массы в контрольном объеме равно притоку флюида через контрольную поверхность. Появление знака «минус» в правой части уравнения обусловлено ориентацией вектора нормали к контрольной поверхности. Так как нормаль внешняя к кон- трольной поверхности, то «втеканию» флюида в контрольный объем должно соответствовать увеличение массы, положительное значение про- изводной по времени в левой части равенства (19.1) и отрицательное зна- чение скалярного произведения wini под интегралом в правой части этого равенства. Для уравнивания знаков необходимо поставить минус. Анало- гичное рассуждение справедливо для «вытекания» флюида.
Уравнение (19.1) представляет собой интегральную формулировку за- кона сохранения массы флюида в пористой среде. Нетрудно увидеть, что по сравнению с интегральной формулировкой закона сохранения массы, полученной во второй главе, интегральное уравнение для пористой среды
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
392 |
ГЛАВА XIX |
содержит вместо плотности ρ величину mρ , представляющую собой фик- тивную плотность флюида – плотность, размазанную по всему объему по- ристой среды.
При установившемся движении производная по времени равна нулю, и из равенства (19.1) следует
○∫ ρ wni idS = 0 .
S
Поэтому если в качестве контрольного объема взять трубку тока для ско- рости фильтрации, то получим
∫ ρ 1w1nds = |
∫ ρ 2w2nds, |
(19.2) |
S1 |
S2 |
|
где Sα (α = 1,2 ) – площади двух сечений трубки тока (на «входе» и на «выходе»). При выводе равенства (19.2) было использовано, что скалярное произведение вектора скорости фильтрации и вектора нормали равно wini = wn , где wn – проекция вектора скорости на нормаль, и что в одном случае она положительна (например, в сечении с индексом 2), а в другом – отрицательна. Для несжимаемой жидкости ρ 1 = ρ 2 = ρ , поэтому
∫ w1nds = ∫ w2nds.
S1 S2
Если скорости в обоих сечениях по всему сечению постоянны, то по- лучаем равенство
w1nS1 = w2nS2 .
Выписанные соотношения по своему физическому смыслу и по форме записи аналогичны формулам, полученным ранее в первой части этой книги.
От интегральной формулировки закона сохранения массы можно пе- рейти к дифференциальной. Для этого сначала в силу фиксированности контрольного объема в пространстве внесем оператор ∂ 
∂ t под знак инте- грала, а затем с помощью теоремы Гаусса–Остроградского преобразуем по- верхностный интеграл в объемный. В результате преобразований получим
|
∂ mρ |
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
|
|
|
|
+ |
div ρ w dV = 0 . |
(19.3) |
|
|
|
|
|
|
||||||
V |
∂ t |
|
|
|
|
|
|
|||
Из условия, что равенство (19.3) выполняется для любого объема V , сле- |
||||||||||
дует, что выражение под знаком интеграла равно нулю, то есть |
|
|||||||||
|
|
|
∂ |
m |
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
div ρ w = 0 . |
(19.4) |
|||
|
|
|
|
∂ t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ |
393 |
Уравнение (19.4) выражает закон сохранения массы в пористой среде в дифференциальной форме или уравнение неразрывности при фильтра- ции флюида в пористой среде.
Если пористость m постоянна, то ее можно вынести за знак произ- водной и переписать уравнение неразрывности в виде
m |
∂ ρ + div ρ w = 0 . |
|
|
|
|
|
∂ t |
|
Для несжимаемого флюида ρ = const , поэтому уравнение неразрыв- ности принимает еще более простой вид
div = 0 . w
При выводе как интегрального, так и дифференциального законов со- хранения массы считалось, что в объеме пористой среды нет ни источни- ков, ни стоков флюида, не происходит химических реакций, фазовых пере- ходов и так далее. Если же это не так, то в правую часть уравнения (19.4) необходимо добавить функцию q, которая будет задавать массу флюида, поступающего (уходящего) в единицу времени в единицу объема, то есть оно приобретет вид
∂ mρ + div ρ = . w q
∂ t
При этом q будет положительной величиной, если флюид поступает в объем, и отрицательной, если флюид уходит из объема.
§3. Дифференциальное уравнение движения флюида
Другой универсальный закон сохранения механики – закон изменения количества движения (импульса). В механике сплошной среды этот закон, записанный в дифференциальной форме, имеет вид уравнения движения сплошной среды в напряжениях. Дальнейшая его трансформация опреде- ляется реологическими (или определяющими) уравнениями среды. В нашем случае в качестве определяющих уравнений выступает закон вяз- кого трения Ньютона, приводящий к уравнениям Навье-Стокса. Но так как в подземной гидромеханике изучается движение осредненное по всему объему пористой среды, то уравнения необходимо осреднить. В результате осреднения получается обсуждавшийся выше закон Дарси. Однако приме- няемые при подобном выводе закона Дарси математические методы выхо- дят за рамки курса подземной гидромеханики. В первой главе был рас- смотрен вывод, основанный на гидравлических соотношениях. Здесь рас- смотрим еще один вывод, который был сделан Н.Е.Жуковским.
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts
СПБГУАП| Институт 4 группа 4736
394 |
ГЛАВА XIX |
В основу рассуждений Н.Е.Жуковский положил уравнение движения идеальной жидкости Эйлера. Для упрощения рассуждений рассмотрим случай одномерного течения, когда уравнение движения имеет вид
ρ |
∂ v |
+ ρ v |
∂ v |
= − |
∂ p |
+ ρ f , |
|
|
|
||||
|
∂ t |
∂ x |
∂ x |
|||
где f – проекция плотности объемных (массовых) сил на направление движения, v – истинная средняя скорость движения.
При течении жидкости в пористой среде возникает сила трения на границе раздела «среда–жидкость». Поскольку поверхность поровых кана- лов достаточно велика и при переходе от истинной средней скорости фильтрации к скорости фильтрации сила трения «размазывается» по всей области, то силу трения можно считать объемной силой. Поэтому плот-
ность объемных сил можно представить в виде |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = f1 + |
f2 , |
|
|||
где |
f1 |
– проекция плотности объемной силы тяжести, |
f1 = g sinα = |
|||||||||||
= (z1 |
− |
z2 ) g l , если ось потока наклонена к горизонтали под углом α (см. |
||||||||||||
рис. 18.6), f2 – проекция объемной силы вязкого трения, |
обусловленной |
|||||||||||||
течением в пористой среде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее, считая, что среда изотропна и просветность постоянна, перей- |
||||||||||||||
дем от истинной средней скорости к скорости фильтрации |
|
|||||||||||||
|
|
|
ρ |
|
∂ w |
+ ρ |
w |
|
∂ w |
= − |
|
∂ p |
+ ρ (f1 + f2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
s ∂ t |
s2 ∂ x |
|
∂ x |
|
|||||||
Положим, что изменения скорости во времени малы и пренебрежем членом ∂ v
∂ t . Второе слагаемое в левой части, представляющее инерцион- ный член, при малых скоростях фильтрации тоже оказывается пренебре- жимо малым. Тогда получается
|
|
|
∂ p |
= |
ρ (f1 + |
f2) . |
(19.5) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
Считая, что сила вязкого трения пропорциональна скорости фильтра- |
|||||||||
ции w в первой степени, то есть принимая f2 = ρλ |
w , получаем из (19.5) |
||||||||
соотношение |
|
|
|
|
|
||||
|
∂ p |
= ρλ w + ρ |
z1 − z2 |
g . |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
∂ x |
|
|
l |
|
||||
Теперь достаточно положить λ |
= − µ |
ρ k, тогда получится закон Дар- |
|||||||
си. |
|
|
|
|
|
||||
Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts