ТММ курсовий проект

швидкостей і прискорень.

Ці задачі можуть бути вирішені графічним, графоаналітичним і аналітичним способами.

2.2.1. Побудова планів положень ланок механізму

Планом положень механізму називають графічне зображення кінематичної схеми механізму, що відповідає певному положенні початкової ланки, у вибраному масштабі (доцільно приймати один із стандартних масштабів М1:1; 2:1; 2,5:1 і т.д. або 1:2; 1:2,5; 1:4 і т.д.). Стандартний масштаб в теорії машин і механізмів записується за допомогою масштабного коефіцієнта довжини.

Масштабний коефіцієнт довжини - відношення натурального розміру в метрах до відрізка на кресленні в мм, який зображає цей розмір. Таким чином, масштабу М1:1 відповідає масштабний коефіцієнт

mL = 0,001 ммм , масштабу М1:2 - mL = 0,002 ммм і т.д.

Для побудови плану положень повинні бути задані: кінематична схема механізму, закон руху ведучої ланки.

При виконанні курсового проекту план механізму будується для дванадцяти його положень. При цьому за нульове положення механізму приймається таке, при якому вихідна ланка (до якої прикладена сила корисного опору або рушійна сила) знаходиться в одному з її крайніх положень. Побудова положень всіх інших ланок механізму виконується методом засічок.

Більш детально побудова плану положень механізму розглянута в прикладі оформлення курсового проекту (додаток Ж).

2.2.2 Побудова планів швидкостей і прискорень

Графоаналітичний метод (метод планів швидкостей і прискорень) дає можливість визначити лінійні швидкості і прискорення всіх точок механізму, кутові швидкості і прискорення всіх ланок механізму в заданому його положенні.

Планом швидкостей (прискорень) механізму називають графічне зображення у вигляді відрізків, що відповідають за модулем і за напрямком швидкостям (прискоренням) різних точок ланок механізму в дану мить часу.

В курсовому проекті кінематичне дослідження виконується графоаналітичним методом для контрольних положень механізму (12 планів швидкостей та 1 план прискорень), а також аналітичним методом.

Для побудови планів швидкостей і прискорень попередньо

31

нагадаємо деякі положення кінематики плоского руху абсолютно твердого тіла, які вивчаються в курсі теоретичної механіки.

Якщо тіло здійснює поступальний рух (рисунок 2.6 а), то швидкості а також і прискорення двох будь-яких довільних точок рівні між собою

де ω - кутова швидкість тіла в с-1; lOA - відстань між точками О і А в метрах. Вектор JA напрямлений по дотичній до кола (перпендикулярно до прямої ОА) в напрямку кутової швидкості тіла.

rn

Напрямлене нормальне прискорення a A до центра обертання, від

точки А до точки О вздовж прямої ОА. Тангенціальне прискорення дорівнює

32

де ε - кутове прискорення тіла в с-2.

Якщо тіло здійснює обертальний рух з постійною кутовою швидкістю (ω=const), то

ε=0 і atA = 0 ,

тоді

У випадку коли тіло здійснює плоско-паралельний рух, то такий складний рух тіла можна розкласти на два рухи - переносний поступальний з довільно вибраною точкою і відносний обертальний навколо цієї точки. Тоді швидкість JB довільної точки В тіла (рисунок 2.7) буде дорівнювати сумі швидкостей вказаних двох рухів

де JA - швидкість переносного руху точки А; JBA - швидкість точки В в обертальному русі тіла навколо точки А. Значення цієї швидкості дорівнює

де ωBA - кутова швидкість тіла в с-1; lBA - відстань між точками А і В в метрах. Вектор JBA напрямлений перпендикулярно до прямої АВ.

33

розкласти на два прискорення:

Прискорення anBA напрямлене від точки В до точки А вздовж прямої АВ. Тангенціальне прискорення дорівнює

aBAt = e × lBA , (м/с2),

де ε - кутове прискорення тіла в с-2. З врахуванням (2.24) формула (2.23) для прискорення точки В приймає вигляд:

На рисунку 2.7, а зображена ланка, яка здійснює плоско-паралельний рух, на рисунку 2.7, б - векторний багатокутник швидкостей, на рисунку 2.7, в - векторний багатокутник прискорень. Такі багатокутники називаються планами швидкостей та прискорень тіла.

Побудова планів швидкостей і прискорень механізму виконується, починаючи від вхідної ланки в послідовності нашарування структурних груп.

Докладніше кінематичне дослідження методом планів швидкостей і прискорень розглянуто для конкретного механізму в прикладі оформлення курсового проекту (додаток Ж).

2.2.3 Аналітична кінематика механізмів

Розглянуті раніше графічні та графоаналітичні методи дослідження кінематики прості і наочні, але не завжди забезпечують достатню точність розрахунків, крім того ці методи обмежують можливість використання ЕОМ з метою оптимізації розрахунків.

Суть аналітичного методу полягає в тому, що такі кінематичні параметри як: лінійна та кутові координати (переміщення), швидкості і прискорення виражають у вигляді математичних залежностей (аналітичних виразів).

В основу аналітичної кінематики механізмів покладено метод Зінов’єва, згідно з яким всякий механізм, що складається із замкненого кінематичного ланцюга з нижчими парами, можна зобразити у вигляді замкненого векторного контуру або системи замкнутих векторних контурів, замінивши умовно ланки механізму векторами.

34

За початок векторного контуру зручніше приймати нерухому точку (стояк). Кожен вектор має початком та кінцем кінематичні пари, в які входять ланки. Модуль вектора може бути як постійним, так і змінним. Напрямок кожного вектора визначається кутом, що відраховується проти годинникової стрілки від лінії, яка паралельна осі х обраної системи координат і проведена через початок відповідного вектора. Знак вектора приймається плюс, якщо напрям вектора збігається з напрямом обходу контуру за годинниковою стрілкою.

Умову замкненості векторних контурів можна записати

де m - кількість ланок механізму, k та n - кількість ланок, які складають окремі замкнені контури в загальній системі, причому

k + n = m.

Якщо в рівняннях (2.27) більше трьох складових, необхідно ввести допоміжні фіктивні вектори, поділивши векторні многокутники на трикутники. Це значно полегшує вирішення задачі.

Векторні рівняння можуть бути записані в проекціях на осі координат або представлені в іншому вигляді, наприклад

Положення центрів ваги ланок або інших їх точок визначаються радіус-векторами, початок яких приймають в полюсі обраної системи координат і складовими яких є вектори замкнених багатокутників або їх частин:

В проекціях на осі координат рівняння (2.30) набуває вигляду:

де eix=cosφi, eiy=sinφi.

Аналітичне дослідження механізмів зручно виконувати з використанням аналогів швидкостей і прискорень або передаточних функцій, оскільки для даної кінематичної схеми механізму останні залежать тільки від узагальненої координати і не залежать від закону руху

35

вихідної ланки. Це означає, що кінематичні дослідження можна виконувати лише геометричними методами.

Передаточною функцією називають відношення кутової швидкості ланки, або швидкості ланки, або проекції швидкості точки на ту чи іншу вісь до узагальненої швидкості. Якщо прийняти в механізмі за узагальнену координату кут φ1, що визначає положення ведучої ланки (при W=1), то

w1 = dj1 є узагальнена швидкість. dt

Припустимо, що ланка m здійснює обертальний рух, а ланки n i k - поступальний рух, який описується координатами qn, qk.

Тоді передаточні функції мають вигляд:

так і мати розмірність ( Vqn1 , Vqkx , …) в залежності від того, який рух

здійснює вхідна ланка, передаточні функції мають розмірність довжини (м) при обертальному русі вхідної ланки, або кривизни (1/м) при її поступальному русі.

Приймаючи до уваги, що

можна також записати передаточні функції у вигляді:

де j¢m , S¢n , X¢k - частинні похідні різних координат або їх проекцій по

узагальненій координаті φ1. Інакше їх ще називають аналогами швидкостей.

Диференціюючи рівняння (2.28) і (2.29) по координаті φ1 отримаємо

36

r

Тоді, помноживши рівняння (2.34) на одиничний вектор-орт e3 , отримаємо:

L1e1¢ × e3 + L2e2¢ × e3 = L3e3¢ × e3 = 0 ,

або, приймаючи до уваги (2.37)

L1 sin(j1 - j3 )U11 + L2 sin(j2 - j3 )U21 = 0 .

Звідки

Таким же чином можна визначити передаточні функції для будьяких ланок та точок механізму.

Отримавши передаточні функції, легко визначати швидкості та прискорення.

37

Кутові та лінійні швидкості:

координаті. Інакше їх ще називають аналогами прискорень. Якщо ω1=const (ε1=0), тоді

Розглянемо деякі приклади аналітичної кінематики механізмів другого класу.

Приклад 2.2.1 Задана кінематична схема чотириланкового шарнірного механізму (рисунок 2.8, а). Кутову швидкість кривошипа прийняти ω1=const. Отримати аналітичні залежності для визначення кінематичних параметрів руху його ланок.

Зображаємо механізм у вигляді векторного многокутника (рисунок

2.8, б).

Рисунок 2.8 - Чотириланковий механізм

38

Нанесемо певним чином на ланки групи вектори, які утворюють замкнений контур. Запишемо умову замкненості контуру:

За початок координат осей x, y приймаємо нерухому точку О, причому вісь х проведемо через іншу нерухому точку О1. Напрям всіх кутів, що визначають положення ланок, відкладаємо від додатного напрямку осі х.

Для визначення функції положення введемо додатковий вектор Lф та три кути g1, g2 і g3, які лежать в трикутниках проти відповідних ланок. Довжина додаткового вектора

r

Положення центра ваги ланки 2 визначаємо через радіус-вектор rS2 :

З врахуванням залежності (2.29) векторне рівняння (2.47) в проекціях на осі набуває вигляду:

xS2 = L1 cos j1 + LAS2 cos j2 ,

(2.48)

yS2 = L1 sin j1 + LAS2 sin j2 .

Таким же чином можна визначити функції положення для точок S3 та інших точок ланок механізму.

Для визначення передаточних функцій (аналогів кутових швидкостей) запишемо рівняння (2.42) у іншому вигляді:

39

та продиференціюємо його по узагальненій координаті j1. Отримаємо:

Продиференціюємо рівняння (2.47) по узагальненій координаті j1. Отримаємо:

VqS 2x = rS¢2x = -L1 sin j1 - LAS 2 × sin j2 × U21 ,

(2.52)

VqS2y = rS¢2y = -L1 cos j1 - LAS2 × cos j2 × U21 .

Таким же чином можна визначити передаточні функції і для інших ланок механізму.

Приклад 2.2.2. Аналогічну задачу розв’яжемо для кривошипноповзунного механізму. Зображаємо цей механізм у вигляді векторного замкненого многокутника (рисунок 2.9).

40