21.Различные уравнения плоскости (общее, уравнение плоскости проходящей через 3 точки уравнение плоскости в отрезках).

Плоскость - есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

, где коэффициенты  одновременно не равны нулю.

Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение первой степени относительно трех переменных: х, у и z, т.е. уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0.               Коэффициенты при х, у и z являются координатами вектора, который перпендикулярен плоскости.

Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M₀ (x₀, y₀, z₀), лежащая в данной плоскости, и вектор , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точкуM₀ (x₀, y₀, z₀), перпендикулярно вектору , имеет вид

A(x-x₀)+ B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0.                                                             

Покажем, что уравнение является общим уравнением плоскости. Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

Ax + By+ Cz + (-Ax₀ - By -Cz₀) = 0

Обозначив D =  -Ax₀ - By -Cz₀ , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (–D).

Обозначив , получим уравнение плоскости “в отрезках”

,                                                             

где a, b, c – это отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках:

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой Чтобы составить уравнение плоскости, зная координаты точки плоскости M(x0, y0, z0) и вектора нормали плоскости n= {A; B; C}можно использовать следующую формулу. A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по следующей формуле x - x1 y - y1 z - z1  = 0 x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1

22.

23. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Условие параллельности двух плоскостей:

Пусть P₁:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, N¯¯₁=(A₁,B₁,C₁);    

          P₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, N¯¯₂=(A₂,B₂,C₂).

Плоскости P1 и P2 параллельны тогда и только тогда, когда N₁∥N₂⇔ A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂.

 

Условия перпендикулярности двух плоскостей:  

Пусть P₁:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, N¯¯¯1=(A1,B1,C1);          

          P₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, N¯¯¯₂=(A2,B2,C2).  

P₁⊥P₂⇔ N¯¯¯₁⊥N¯¯¯₂⇔ A₁⋅A₂+B₁⋅B₂+C₁⋅C₂=0.      

Угол между плоскостями:  

Пусть P₁:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, N¯¯¯₁=(A₁,B₁,C₁);            

          P₂:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, N¯¯¯₂=(A₂,B₂,C₂).

cos(P₁,P₂)ˆ= N¯¯¯₁⋅N¯¯¯₂/|N¯¯¯₁||N¯¯¯₂|= A₁⋅A₂+B₁⋅B₂+C₁⋅C2/√A²₁+B²₁+C²₁⋅√A₂²+B₂²+C₂².