24. Различные уравнения прямой в пространстве. Переход от общих уравнений к каноническим и обратно.

Напомним, что в аналитической геометрии любая пространственная линия рассматривается как пересечение двух поверхностей.  Так как каждая прямая всегда может быть помещена в некоторую плоскость и при пересечении двух плоскостей образуется прямая, то в аналитической геометрии прямую в пространстве принято задавать как пересечение двух плоскостей.  Итак, пусть и –уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую .Тогда координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы (1)Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве. Так как через любую прямую в пространстве проходит множество плоскостей, то любую прямую можно задать ее общими уравнениями и не единственным образом.  Недостатком задания прямой общими уравнениями является то, что по их виду ничего нельзя сказать о расположении прямой в пространстве. При решении задач удобнее использовать другие, более наглядные формы записи уравнений прямой – параметрические или канонические уравнения. Получим параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве, решив следующую задачу. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку ,параллельно вектору .Также, как и для прямой на плоскости, вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой. Пусть –текущая точка прямой. Обозначим через и –радиус-векторы точек и .Рассмотрим векторы и .По условию задачи они параллельны.  Следовательно, существует такое число (называют параметром), что ,, (2*)или, в координатной форме, (2) Уравнение (2*) и систему уравнений (2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).  Если в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных плоскостей (т.е. если ,и ),то из уравнений системы (2) можно выразить параметр :,,и заменить систему (2) одним равенством вида: . (3) где –координаты некоторой точки на прямой; ,,–координаты направляющего вектора прямой. Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. частным случаем канонических уравнений являются уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Действительно, пусть прямая проходит через две точки и .Тогда вектор является ее направляющим вектором, и канонические уравнения этой прямой будут иметь вид . (4) Уравнения (4) называют уравнениями прямой, проходящей через две заданные точки и .2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид  ,то ее параметрические уравнения: , ,а общие уравнения: Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий.  Пусть прямая задана общими уравнениями: (5) Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки на прямой. Координаты точки найти легко – это одно из решений системы уравнений (5). Выясним, как можно найти направляющий вектор .пусть и –плоскости, уравнения которых входят в общие уравнения прямой, и –нормальные векторы к плоскостям и соответственно.  Так как прямая лежит в плоскости ,то векторы и перпендикулярны.  Так как прямая лежит в плоскости ,то векторы и тоже перпендикулярны.  Следовательно, в качестве можем взять векторное произведение векторов и (см. определение векторного произведения в §9). ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой  (6)

1) Найдем одно из решений системы (6). Так как ,то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы (6). Следовательно, переменные и можем выбрать в качестве базисных, а переменную –свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы (6), то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем .Тогда переменные и будут удовлетворять системе Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем: ,,;,.Таким образом, –одно из решений системы (6), и точка –точка на рассматриваемой прямой.  2) Найдем направляющий вектор прямой. Имеем: ,;.Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять вектор ,и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид: .