36. Ко́мпле́ксные чи́сла

(0110008070устар. 090080005108100Мнимые числа), — расширение 090005000030501100поля 00510511020500005108100вещественных чисел, обычно обозначается .Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма ,где и —вещественные числа, — 0900800018050408008100мнимая единица.

Комплексные числа образуют 0003050110008105100807000001100500005алгебраически замкнутое 090005000030501100поле — это означает, что 090003010050многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (0910002000181050105000000030501118основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели

Поле комплексных чисел можно понимать как 000011081050080500018расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные 0900405018108110501800010800модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к 0070001108070000105000108000изоморфным расширениям поля вещественных чисел ,как и любые другие конструкции 0900051000700060500818поля разложения многочлена .

Стандартная модель

Комплексное число можно определить как упорядоченную пару 00510511020500005108100вещественных чисел .Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

• 

• 

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида ,причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а 0900800018050408008100мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен ,то есть 

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные 0010800001080000205105110205001811081050операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с 09100105008050011804000отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Действия над комплексными числами

• Сравнение

 означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

• Вычитание

• Умножение

• Деление

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с 09118001030018000181081105000000104080001%прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами (а также 000004081102050101%радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется 0900000501000180001001118комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также 0900181000181081105000000104080001%полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол000004081102050101%радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует 005010103050005110818векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в 00010000810510080500005010000818теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «000008110400амплитуда» и «0400070000005010000809фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Пусть —комплексное число, где и — 00510511020500005108100вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой(аналогично 0003008091008091807180англ. real, imaginary) частями .

• Если ,то называется мнимым или чисто мнимым числом.

• Если ,то является 00510511020500005108100действительным (вещественным) числом.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде ,,называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (,),то всякое комплексное число ,кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через 040101000009005100формулу Эйлера:

где —расширение 001000050100экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

37.

38.

Понятие "степень комплексного числа" в силу определения операции умножения (23) вводится аналогично обычному алгебраическому, т. е. под степенью числа понимается-кратное повторение умножения:                  

(13)

и тогда на основе этого определения можно расширить свойства комплексной экспоненты, рассмотренные в 3-3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."примере HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."1HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."-HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22."3HYPERLINK "3.%22примере%20HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%221HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22-HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%223HYPERLINK%20%22.html%22примере%201-3.%22.".

     Пример 1-4. Показать, что .

     Решение. Из (413) и с помощью свойства 2 из 3-3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"Примера HYPERLINK "3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"1HYPERLINK "3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"-HYPERLINK "3%22Примера%20HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%221HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%22-HYPERLINK%20%22.html%22Примера%201-3%223"3 получим

     Переход к комплексным числам в показательной форме оказывается очень удобным приемом в случае преобразований тригонометрических функций.

     Пример 1-5. Доказать, что является алгебраическим многочленом степени(полином Чебышева первого рода), и получить явные выражения дляc.

     Решение. Из 3формулы Эйлера

   и, следовательно:

Учитывая свойства функции и применяя формулу Эйлера еще раз, получим

Раскрывая степень с помощью формулы бинома Ньютона, имеем

где - биномиальные коэффициенты. Из последнего выражения видно, что слагаемые с четнымибудут действительными величинами, которые являются целыми степенями, максимальная из которых равна. Переобозначая индекс суммирования как, можно получить действительное выражение дляв виде

(14)

где символ означает целую часть, и частные случаи длясоответственно запишутся в следующем виде:

Отметим, что формула (414) для полиномов Чебышева может быть переписана как формула Муавра. Действительно, обозначая , получим, и тогда из (414):

     Корнем степени из комплексного числа называется комплексное число, которое обозначается как , такое, что его-я степень равна. Операция извлечения корней, таким образом, является обратной к возведению в степень. Способ нахождения корня можно описать следующим образом:

(15)

     Пример 1-6. Вычислить все значения следующих корней: