16.Смешанное произведение. Вывод формулы объема параллелепипеда.

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если 4_4.php"тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах:. В случае левой тройкисмешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус:. Если,икомпланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах ,иравен модулю смешанного произведения этих векторов:

Свойства смешанного произведения:

1°   

2°   

3°    Три 4_0.php"вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же, то векторы,иобразуют левую тройку векторов.

5°   

6°   

7°   

8°   

9°   

10°    Тождество Якоби:

Если векторы ,изаданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Объем параллелепипеда определяется по формуле , где — уголмежду векторами и, а— угол между вектороми перпендикуляром к плоскости, в которой лежати.

Пусть координаты векторов . В ортонормированном базисе

Рассмотрим выражение . Это выражение называют определителем трехмерной матрицы и обозначают.

В этих обозначениях векторное произведение можно записать в виде .

Можно показать, что аналогично плоскому случаю знак совпадает с ориентацией тройки.

17. Cвойства смешенного произведения. Вывод формулы объема пирамиды и ее высоты. Условия принадлежности 4 точек к одной плоскости . Условия комплонарности 3 векторов.

18. Различные уравнения прямой на плоскости(наклонной,через две точки, общее, каноническое,параметрическое).

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀,y₀) перпендикулярно вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0 -уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

Преобразуем уравнение к виду: Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.

Обозначив -Ах₀ – Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой: Ах + Ву + С = 0.

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀,y₀) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), ее направляющим вектором можно считать

и из уравнения следует:уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения ,

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x0 + lt, y = y0 + mt - параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение

прямой в виде: у = kx + b -уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, все точки прямой l₁, параллельной l и проходящей через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b.

Неполные уравнения прямой.

Уравнение Ах + Ву + С = 0. называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений прямой.

1) С = 0 - прямая Ах + Ву = 0 проходит через начало координат.

2) В = 0 - прямая Ах + С = 0 параллельна оси Оу (так как нормаль к прямой {A,0} перпендикулярна оси Оу).

3) А = 0 - прямая Ву + С = 0 параллельна оси Ох.

4) В=С=0 – уравнение Ах = 0 определяет ось Оу.

5) А=С=0 – уравнение Ву = 0 определяет ось Ох.

Таким образом, прямая, задаваемая полным уравнением, не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям. Преобразуем полное уравнение прямой следующим образом: Ах + Ву + С = 0 |:(-C),

Где иравны величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях О_х и О_у. Поэтому уравнение называютуравнением прямой в отрезках.

19.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартоваHYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/cartesian_rectangular_coordinates.html" систему координат Oxy.

Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , гдеa и b - некоторые отличные от нуля действительные числа.

Уравнение прямой в отрезках не случайно получило такое название - абсолютные величины чисел a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях Ox и Oy, считая от начала координат.

Поясним этот момент. Мы знаем, что координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению этой прямой. Тогда отчетливо видно, что прямая, заданная уравнением прямой в отрезках, проходит через точки и, так каки. А точкиикак раз расположены на координатных осяхOx и Oy соответственно и удаленны от начала координат на a и b единиц. Знаки чисел a и b указывают направление, в котором следует откладывать отрезки. Знак «+» означает, что отрезок откладывается в положительном направлении координатной оси, знак «-» означает обратное.

Изобразим схематический чертеж, поясняющий все вышесказанное. На нем показано расположение прямых относительно фиксированной прямоугольной системы координат Oxy в зависимости от значений чисел a и b в уравнении прямой в отрезках.

Теперь стало понятно, что уравнение прямой в отрезках позволяет легко производить построение этой прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy. Чтобы построить прямую линию, которая задана уравнением прямой в отрезках вида , следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точкии, после чего соединить их прямой линией с помощью линейки.

Нормальное уравнение прямой – описание и пример.

Выведем нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартоваHYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/cartesian_rectangular_coordinates.html" система координат Oxy. Зададим прямую в этой системе координат, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой. В качестве нормального вектора нашей прямой возьмем вектор единичной длины , с началом в точкеO. Его координаты равны соответственно и, гдеи- углы между вектороми положительными направлениями координатных осейOx и Oy соответственно, то есть, . В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмем точкуА и будем считать, что она находится на расстоянии p единиц () от точкиO в положительном направлении вектора (приp = 0 точка А совпадает с началом координат), то есть, .

Получим уравнение, которое задает эту прямую линию.

Очевидно, что точка лежит на рассматриваемой прямой тогда и только тогда, когдачисловая проекция вектора на направление вектораравнаp, то есть, при условии .

- радиус-вектор точки , следовательно,, что было показано в разделекоординаты радиус-вектора точки. Тогда из определения скалярного HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/scalar_product_of_vectors.html"произведения векторов мы получаем равенство , а это жескалярное произведение в координатной форме имеет вид . Следовательно,или. На этом вывод нормального уравнения прямой закончен.

Полученное уравнение вида называютнормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Уравнение также называютуравнением прямой в нормальном виде.

Очевидно, нормальное уравнение прямой представляет собой общее уравнение прямой вида , в котором числаA и B таковы, что длина вектора равна единице, а числоC неотрицательно.

Из вывода нормального уравнения прямой виден его геометрический смысл: нормальное уравнение прямой вида задает в прямоугольной системе координатOxy на плоскости прямую с нормальным вектором единичной длины расположенную на расстоянииp единиц от начала координат в положительном направлении вектора .

Для примера приведем нормальное уравнение прямой . Оно в прямоугольной системе координатOxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты , и эта прямая удаленна от начала координат на3 единицы в направлении, совпадающем с направлением нормального вектора .

20.

Угол между двумя прямыми

Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

Расстояние от точки до прямой – определение.

Расстояние от точки до прямой определяется через расстояние от точки до точки. Покажем как это делается.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве задана прямая a и точка M₁, не лежащая на прямой a. Проведем через точку M₁ прямую b, перпендикулярную прямой a. Обозначим точку пересечения прямых a и b как H₁. Отрезок M₁H₁ называется перпендикуляром, проведенным из точки M₁ к прямой a.

Определение.

Расстоянием от точки M₁ до прямой a называют расстояние между точками M₁ и H₁.

Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра.

Определение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой.

Обратите внимание на то, что расстояние от точки до прямой – это наименьшее из расстояний от этой точки до точек заданной прямой. Покажем это.

Возьмем на прямой a точку Q, не совпадающую с точкой M₁. Отрезок M₁Q называют наклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Нам нужно показать, что перпендикуляр, проведенный из точки M₁ к прямой a, меньше любой наклонной, проведенной из точки M₁ к прямой a. Это действительно так: треугольник M₁QH₁ прямоугольный с гипотенузой M₁Q, а длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, следовательно, .

способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

Если мы определим координаты точкиH₁, то искомое расстояние мы сможем вычислить, используя формулу для нахождения расстояния от точкиM₁ до точки H₁ по их координатам: .

Осталось разобраться с нахождением координат точки H₁.

Мы знаем, что прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет написать общее уравнение прямой a или уравнение прямой с угловым коэффициентом. После этого мы можем составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_passes_through_point_perpendicular_to_line.html"M_{HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_passes_through_point_perpendicular_to_line.html"1}HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_passes_through_point_perpendicular_to_line.html" перпендикулярно заданной прямой a. Обозначим эту прямую буквой b. Тогда точка H₁ – это точка пересечения прямых a и b, следовательно, координаты точки H₁ можно определить, обратившись к материалу статьи координаты точки пересечения двух прямых.

Итак, мы получили алгоритм для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямойa:

• находим общее уравнение прямой a вида или уравнение прямойa с угловым коэффициентом ;

• получаем общее уравнение прямой b вида или уравнение прямойb с угловым коэффициентом вида , учитывая, что прямаяb проходит через заданную точку M₁ и перпендикулярна заданной прямой a;

• определяем координаты точкиH₁ - точки пересечения прямых a и b, решая систему линейных уравнений или;

• вычисляем требуемое расстояние от точки M₁ до прямой a по формуле .