29. Определение гиперболы и вывод канонического уравнения.

Гипербола – это геометрическое место точек для каждой из которых разность расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами есть постоянная величина =2а и требуется что-бы эта величина была меньше, чем расстояние между фокусами.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению

гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂ =±2a,

30.Определение параболы и вывод канонического уравнения.

Параболой называется множеством всех таких точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной точки F равно расстоянию до фиксированной прямой. Фиксированную точку мы будем называть фокусом, фиксированную прямую — директрисой параболы.

Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка FD, представляющего собой перпендикуляр, опущенный из фокуса F на директрису, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. Пусть длина отрезка FD равна р. Тогда в выбранной системе координат точка F имеет координаты (р/2,0). Пусть М — точка плоскости с координатами (x,y). Обозначим через r расстояние от М до F, а через d – расстояние от М до директрисы. Согласно определению параболы равенство :

r = d является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной параболе. Так как то

Преобразуя формулу получим:каноническое уравнение параболы

Свойства параболы:

1°. Парабола имеет одну ось симметрии (ось Ох). Эта ось называется ось параболы.

2°. Поскольку ,то парабола целиком содержится в полуплоскости (х ≥ 0), граница которой перпендикулярна оси параболы.

31.Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля.

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической _квадратичнойHYPERLINK "форма%22квадратичной%20формы" HYPERLINK "форма%22квадратичной%20формы"формы, соответствующей уравнению кривой

Так, например, невырожденная кривая  оказывается вещественным эллипсом, _мнимымHYPERLINK "эллипс%22мнимым%20эллипсом" HYPERLINK "эллипс%22мнимым%20эллипсом"эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

или

Корни этого уравнения являются ___собственнымиHYPERLINK "пространства%22собственными%20значениями" HYPERLINK "пространства%22собственными%20значениями"значениями вещественной симметричной матрицы

и, как следствие этого, всегда вещественны.

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если  

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если .

полярные координаты

Если взять в качестве полюса _полярнойHYPERLINK "координаты%22полярной%20системы%20координат" HYPERLINK "координаты%22полярной%20системы%20координат"системыHYPERLINK "координаты%22полярной%20системы%20координат" HYPERLINK "координаты%22полярной%20системы%20координат"координат  фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симметрии, то в полярных координатах ,  уравнение кривой будет иметь вид

Главные оси и вершины кривой второго порядка

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая  либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые  имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

где  — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

Уравнения

Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

Канонический вид

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду. Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты  и корни характеристического уравнения  

Полюсы и поляры

Уравнение

помимо касательной определяет прямую, называемую полярой точки  относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка  называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:

• Если прямая, проведённая через полюс  пересекает поляру в точке  а кривую второго порядка — в точках  и  то точки  и  гармонически разделяют отрезок  т. е. выполняется условие

• Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.

• Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.

• Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

• если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой точки проходит через точки касания;

• касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;

• точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;

• каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.