Проекция вектора на вектор.

  Для проекции вектора на направление вектораиз определения скалярного произведения имеем

.

В координатной форме формула для проекции примет вид

.

Длина

По определению вектор – это направленный отрезок, а длина этого отрезка в заданном масштабе является длиной вектора. Таким образом, задача нахождения длины вектора на плоскости и в пространстве сводится к нахождению длины соответствующего отрезка. Для решения этой задачи в нашем распоряжении все средства геометрии, хотя в большинстве случаев достаточно теоремы Пифагора. С ее помощью можно получить формулу для вычисления длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат, а также формулу нахождения длины вектора по координатам точек его начала и конца. Когда вектор является стороной треугольника, то его длина может быть найдена по теореме косинусов, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать. Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты. Получим формулу, позволяющую находить длину векторачерез координатыи.

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точкиА на координатные оси как исоответственно и рассмотрим прямоугольникс диагональюОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда. Из определениякоординат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и, а по построению длинаОА равна длине вектора , следовательно,.

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид.

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам, то его длина вычисляется по этой же формуле, так как в этом случае коэффициентыиявляются координатами векторав заданной системе координат.

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки и, то векторимеет координатыи его длина вычисляется по формуле, а формула для нахождения длины векторапо координатам точекитрехмерного пространства имеет вид.

Ортогональность

Условия ортогональности векторов. Два вектора

a

и

b

ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

a· b= 0

Коллинеарность

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными.

Условия коллинеарности векторов

• Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.

• Два вектора коллинеарные, если их 1/"векторное произведение равно нулю.

Так в случае плоской задачи вектора a= {a_x;a_y}и b= {b_x;b_y}коллинеарны если

ax	=	ay	.
bx		by

Пример. Какие из векторов a= {1; 2}, b= {4; 8}, c= {5; 9}, коллинеарны? Решение

Вектора a и b коллинеарны т.к.	1	=		2			.
4	8
Вектора a и не коллинеарны т.к.			1		≠	2			.
			5			9
Вектора с и b не коллинеарны т.к.			5		≠	9		.
			4			8

Комплонарность

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

• Три вектора компланарны если их 2/"смешанное произведение равно нулю.

• Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a= {1; 2; 3}, b= {1; 1; 1}, c= {1; 2; 1}. Решение: найдем смешанное произведение векторов

Составляем и решаем матрицу=1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2 Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.