8. Система линейных однородны уравнений. Теорема о ненулевых решениях таких систем (доказать).
Запишем
однородную систему линейных уравнений.
РИС.
7.1
Однородная
система всегда совместна, так как всегда
имеется тривиальное (нулевое) решение.
Согласно общей теории, если r(A)=n, то единственным является тривиальное (нулевое) решение. Если же r(A)<n , то решений бесконечно много, и все они, кроме одного, нетривиальные (ненулевые).
Теорема 7.1 (о нетривиальных (ненулевых) решениях однородной системы)
Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.
Доказательство:
По теореме Крамера det(A) ≠ 0 тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (7.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда det(A)=0 (т.е. решений системы бесконечное множество). Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации (n-r)
векторов
( если r(A)=r ):
…,
РИС.
7.2
Покажем,
что вектора qr+1,...,qn
–
линейно независимы. Для этого составим
матрицу Г
из их координат:
Ниже черты расположен минор порядка (n-r), отличный от нуля, следовательно r(Г)= (n-r), следовательно (n-r) столбцов матрицы Г линейно независимы.
Следовательно, вектора qr+1,...,qn – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства. Определение 7.1
Всякая линейно независимая система (n-r) решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений.
9.Система координат на прямой, плоскости и в пространстве. Уравнение линии на плоскости.
Задать декартову систему координат на плоскости означает зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, две перпендикулярные направленные оси (так называемые, оси координат). Причём, эти оси занумерованы. И, конечно, понадобится единичный отрезок, чтобы численно обозначать расстояние между двумя точками.
Таким образом, положение любой точки на плоскости однозначно определено двумя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на “положительную” часть оси, или с минусом, если на “отрицательную”), а второе – величина проекции на вторую ось.
Стандартным образом декартова система координат обозначается Oxy, оси нумеруются таким образом, что поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки. Координаты точки – (x,y).
Полярная система координат на плоскостиДля того, чтобы задать полярную систему координат на плоскости, надо зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, луч, выходящий из этой точки. Необходимо также определить единичный отрезок и положительное направление отсчета угла между лучом и отрезком, соединяющим начало координат с какой-либо точкой плоскости.
Положение точки на плоскости задаётся двумя числами. Первое – расстояние от точки до начала координат, а второе – угол между зафиксированным лучом и отрезком, соединяющим точку и начало координат.
Обычно направление отсчета угла выбирают против часовой стрелки. Стандартное обозначение координат точки в полярной системе – (ρ,φ). Очевидно, ρ0.
Существуют формулы перехода между заданными стандартным образом декартовой и полярной системами координат. Если они друг другу соответствуют (т.е. должны совпадать начала координат в обеих системах, луч полярной системы координат должен совпадать с “положительной” частью первой оси декартовой системы, должны быть одинаковыми единичные отрезки), то
x = ρ∙cosφ,
y = ρ∙sinφ.
В других случаях формулы зависят от постановки задачи, но получить их легко из геометрических соображений.
С помощью этих формул можно осуществлять переход между двумя системами координат, преобразовывать координаты точек, уравнения кривых и т.д..
В полярной системе координат очень просто выглядят уравнения прямых, проходящих через начало координат и окружностей с центром в этой точке. Кроме того, уравнения многих стандартных, часто используемых, кривых принято (с точки зрения простоты) записывать в полярных координатах.
Декартова система координат в пространстве
Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.
Цилиндрическая система координат в пространстве
Цилиндрическая система координат в пространстве – “родственница” полярной системы координат на плоскости. Чтобы получить цилиндрическую систему надо на плоскости ввести полярную систему координат и добавить вертикальную координатную ось. Т.о., координаты точки – три числа: первые два – полярные координаты проекции нашей точки на плоскость, третье – величина проекции точки на вертикальную ось.
Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между цилиндрической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:
x = ρ·cosφ,
y = ρ·sinφ,
z = z.
Сферическая система координат в пространстве
Сферическая система координат вводится следующим образом: фиксируем плоскость, на ней -- точку О начала координат, а из точки О выпускаем луч, перпендикулярный плоскости, и луч, лежащий в плоскости. Положение точки М задаётся тремя числами: первое – расстояние от начала координат О до точки М; второе – угол между проекцией отрезка ОМ на плоскость и лежащим в плоскости лучом; третье – угол между перпендикулярным плоскости лучом и отрезком ОМ.
Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между сферической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:
x = ρ·sinθ·cosφ,
y = ρ·sinθ·sinφ,
z = ρ·cosθ.
Уравнение линии на плоскости
Уравнение линии на плоскости — это уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами.
Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению.
Уравнения линии могут быть самыми различными, но не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.
Примеры:
Уравнение окружности: (x — xо)2 + (y — yо)2 = r2
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = k·x + b
Взаимное расположение двух линий:
Для того чтобы определить взаимное расположение двух линий, надо знать уравнения этих линий. Если система этих уравнений имеет решения, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений.