13.Вывод формулы для вычисления скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Свойства.

Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение векторов и, заданных в ортонормированном базисе,выражается формулой

Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе,выражается формулой

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Свойства

• Свойство перестановки: a · b = b · a (от перестановки множителей скалярное произведение не меняется);

• Свойство распределения: a · (b · c) = (a · b) · c (результат не зависит от порядка умножения);

• Свойство сочетания (по отношению кскалярному множителю): (λ a) · b = λ (a · b).

• Свойство ортогональности (перпендикулярности): если вектора a и b ненулевые, то их скалярное произведение равно нулю, только когда эти векторы ортогональны (перпердикулярны друг к другу)a _┴ b;

• Свойство квадрата: a · a = a² = |a|² (скалярное произведения вектора самого с собой равняется квадрату его модуля);

• Если координаты векторов a={x₁, y₁, z₁} и b={x₂, y₂, z₂}, то скалярное произведение равно a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.

14.Векторное произведение. Координаты вектора векторного произведения. Его свойства. Условия колинеарности.

15.Приложение векторного произведения: площадь треугольника в пространстве и на плоскости через координаты его вершин.

Векторы на плоскости и в пространстве

Вектор — это направленный отрезок. Его длиной считают длину отрезка.

Если даны две точки M1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2), то вектор

Расстояние между двумя точками — это длина отрезка М1М2 или длина вектора n:

Если даны два вектора и, то:

1.Длины векторов:

2.Сумма векторов:

Суммой двух векторов a и b является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма); или вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего — по правилу треугольника.

Суммой трех векторов a, b, c называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах

(правило параллелепипеда).

3.Разность векторов:

4.Умножение вектора на число (скаляр):

Векторы t и b называются коллинеарными, т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Пропорциональные координаты — условие коллинеарности векторов.

5.Скалярное произведение векторов:

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.

6.Угол между векторами a и b, точнее его косинус:

7.Векторное произведение векторов:

где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b.

Если , то данные векторы коллинеарные (параллельны прямой).

8.Смешанное произведение векторов

Если , то данные векторы компланарные (принадлежат плоскости или параллельны ей).

Три ненулевых вектора a, b, cкомпланарны, когда один из них выражается через два других, т.е. , где n, m — числа.

Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

Координаты вершин трехгранной призмы

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник).

1.Начало координат — в точке A;

2.Сторона призмы — единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;

3.Ось OX направляем по ребру AB, OZ — по ребру AA1, а ось OY расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Заметим, что ось Y НЕ совпадает с ребром AC, т.к. треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так: