Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",
.pdf
11
2.26.A(5;−1;7), B(−3;5;−1), Fr1 =1H , Fr2 = 7H .
2.27.A(3;4;5), B(3;−7;5), Fr1 = 3H , Fr2 = 8H .
2.28.A(3;0;11), B 3;−13; 9 , Fr1 = 4H , Fr2 = 9H .
2
2.29.A(4;−13;3), B(−8;5;−1), Fr1 = 7H , Fr2 = 5H .
2.30.A(9;11;2), B(4;6;7), Fr1 = 6H , Fr2 = 4H .
Задача 3. Задані точки A, B , C . Знайти кут між векторами |
|
AB та AC і проекцію вектора 3AB − 2 AC на вектор AB + AC . |
|
3.1. |
A(−2;4;6), B(0;2;−4), C (−6;8;−10). |
3.2. |
A(1;4;−1), B(−2;4;−5), C (8;4;0). |
3.3. |
A(0;1;0), B(0;2;1), C (1;2;0). |
3.4. |
A(−4;0;4), B(−1;6;7), C (1;10;9). |
3.5. |
A(3;−6;9), B(0;−3;6), C (9;−12;15). |
3.6. |
A(−2;1;1), B(2;3;−2), C (0;0;3). |
3.7. |
A(0;2;−4), B(8;2;2), C (6;2;4). |
3.8. |
A(3;3;−1), B(5;1;−2), C (4;1;−3). |
3.9. |
A(−4;3;0), B(0;1;3), C (−2;4;−2). |
3.10. |
A(0;3;−6), B(9;3;6), C (12;3;3). |
3.11. |
A(1;−1;0), B(−2;−1;4), C (8;−1;−1). |
3.12. |
A(−1;2;−3), B(0;1;−2), C (−3;4;−5). |
3.13. |
A(7;0;2), B(7;1;3), C (8;−1;2). |
12
3.14.A(2;−8;−1), B(4;−6;0), C (−2;−5;−1).
3.15.A(1;−2;3), B(0;−1;2), C (3;−4;5).
3.16.A(0;0;4), B(−3;−6;1), C (−5;−10;−1).
3.17.A(0;−3;6), B(−12;−3;−3), C (−9;−3;−6).
3.18.A(6;2;−3), B(6;3;−2), C (7;3;−3).
3.19.A(3;3;−1), B(5;5;−2), C (4;1;1).
3.20.A(−1;−2;1), B(−4;−2;5), C (−8;−2;2).
3.21.A(−1;2;−3), B(3;4;−6), C (1;1;−1).
3.22.A(2;1;−1), B(6;−1;−4), C (4;2;1).
3.23.A(−4;−2;0), B(−1;−2;4), C (3;−2;1).
3.24.A(3;3;−1), B(1;5;−2), C (4;1;1).
3.25.A(5;3;−1), B(5;2;0), C (6;4;−1).
3.26.A(0;1;−2), B(3;1;4), C (4;1;1).
3.27.A(−3;−7;−5), B(0;−1;−2), C (2;3;0).
3.28.A(2;−4;6), B(0;−2;4), C (6;−8;10).
3.29.A(2;3;2), B(−1;−3;−1), C (−3;−7;−3).
3.30.A(2;2;7), B(0;0;6), C (−2;5;7).
Задача 4. Знайти довжину діагоналей і площу паралелог-
рама, побудованого на векторах a та b . |
||||
4.1. |
r |
r |
r |
+ k , b = i + 2 j −4k . |
a |
= 2i |
−3 j |
||
4.2. |
r |
r |
r |
−k , b = −2i + j −7k . |
a |
= 5i |
−2 j |
||
4.3. |
ar |
= −2 rj +3kr, b = 3i −2 j . |
||
13
4.4.ar = 6ir−4 rj + k , b = 2i +3 j −4k .
4.5.ar = ir+3 rj −4k , b = 2i − j + k .
4.6.ar = 2ir+3 rj + 2k , b = i − j −k .
4.7.ar = 2ir− rj + 2k , b = i + 2 j −k .
4.8.ar = ir+2 rj −3k , b = 2i − j + k .
4.9.ar = 5ir+ rj −3k , b = i − j + 2k .
4.10.ar = 3ir+3 rj −2k , b = 2i −3 j +k .
4.11.ar = 3ir− rj + 2k , b = i + 2 j −k .
4.12.ar = −ir+3 rj −3k , b = 2i +2k .
4.13.ar = ir−5 rj +3k , b = − j −3k .
4.14.ar = 2i −3k , b = 7i + 4 j + k .
4.15.ar = −5ir−6 rj + k , b = 3i +7 j .
4.16.ar = −ir+ rj + k , b = i + 4 j +6k .
4.17.ar = −ir−2 rj −3k , b = 2i −2k .
4.18.ar = 4i −5 j , b = 4 j −3k .
4.19.ar = −2ir+3 rj +4k , b = i −2k .
4.20.ar = −5 rj −6k , b = −i +4 j +3k .
4.21.ar = −2 rj + vj +3k , b = 3i +2k .
4.22.ar = 4ir−6 rj + 4k , b = 3i − j + 2k .
4.23.ar = −2ir+5 rj −5k , b = −2i + j −k .
14
4.24.ar = 5ir+ rj +7k , b = 4i + j +5k .
4.25.ar = 4ir+ rj +k , b = 2i − j −3k .
4.26.ar = 5ir+ rj + 4k , b = i − j −3k .
4.27.ar = 6i −7k , b = 3i − j −4k .
4.28.ar = 6ir+7 rj +5k , b = i + j −2k .
4.29.ar = 4ir+ 2 rj + k , b = −2i +3 j −2k .
4.30.ar = −4ir+5 rj −3k , b = 4i +2k .
Задача 5. Задано вершини трикутника ABC . Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини B на сторону AC
(5.1−5.15).
5.1.A(1;−1;3), B(5;1;0), C (2;1;1).
5.2.A(6;1;5), B(5;1;0), C (3;1;1).
5.3.A(3;2;−2), B(1;3;1), C (6;2;0).
5.4.A(3;0;6), B(1;−3;2), C (3;2;5).
5.5.A(6;6;5), B(4;9;5), C (4;6;11).
5.6.A(3;5;4), B(8;7;4), C (1;10;4).
5.7.A(1;2;3), B(2;0;−1), C (3;3;5).
5.8.A(−2;1;0), B(3;2;7), C (2;2;5).
5.9.A(1;2;0), B(3;0;3), C (5;2;6).
5.10.A(1;−1;2), B(5;−6;2), C (1;3;−1).
5.11.A(3;−2;1), B(−4;−2;0), C (−1;−2;4).
5.12.A(4;3;1), B(2;0;−3), C (4;5;0).
15
5.13.A(−3;4;1), B(−1;2;4), C (1;4;7).
5.14.A(−2;3;7), B(−1;1;3), C (0;4;9).
5.15.A(−7;3;2), B(−3;−2;2), C (7;7;−1).
Задано сили Fr1 , F2 , F3 , прикладені до точки C . Знайти величину момента рівнодійної цих сил відносно точки D
(5.16 −5.30).
5.16. Fr1 = (2;−1;−3), F2 = (3;2;−1), F3 = (−4;1;3),
C (−1;4;−2), D(−4;1;3).
5.17. Fr1 = (7;−6;2), F2 = (−6;2;−1), F3 = (1;6;4),
C (3;−6;1), D(6;−2;7).
5.18. Fr1 = (3;−4;2), F2 = (2;3;−5), F3 = (−3;−2;4),
C (5;3;−7), D(4;−1;−4).
5.19. Fr1 = (−3;4;2), F2 = (1;−5;6), F3 = (4;3;5),
C (4;2;−3), D(2;4;0).
5.20. Fr1 = (9;4;1), F2 = (−2;1;−5), F3 = (−3;2;1), C (5;−4;2), D(8;5;−4).
5.21.Fr1 = (−4;4;−3), F2 = (3;−2;4), F3 = (3;4;2),
C (1;−4;3), D(4;0;−2).
5.22.Fr1 = (−4;1;−5), F2 = (2;2;1), F3 = (3;−1;−5),
C (−2;3;−2), D(1;2;−1).
5.23. Fr1 = (5;1;−3), F2 = (4;−2;−5), F3 = (−6;2;5),
C (−3;2;6), D(4;5;−3).
16
5.24. Fr1 = (7;1;−2), F2 = (−3;−1;1), F3 = (− 2;3;−4),
C (1;−2;2), D(1;4;0).
5.25. Fr1 = (−5;8;4), F2 = (6;−7;3), F3 = (3;1;−5),
C (2;−4;7), D(0;7;4).
5.26. Fr1 = (−5;3;4), F2 = (2;0;−5), F3 = (−7;−1;−2),
C (4;7;−5), D(5;9;3).
5.27. Fr1 = (−8;3;−1), F2 = (3;−4;0), F3 = (9;−4;1), C (2;−5;1), D(2;−1;−2).
5.28.Fr1 = (5;−2;3), F2 = (4;5;−3), F3 = (−1;−3;6),
C (7;1;−5), D(2;−3;−6).
5.29. |
Fr |
= (−5;11;−7), F = (− 6;−3;2), F = (13;−4;4), |
||
|
1 |
|
2 |
3 |
|
C (2;3;4), D(1;2;2). |
|
||
5.30. |
Fr |
= (8;3;5), |
F = (− 4;−2;3), |
F = (−6;0;−5), |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
C (3;2;−2), |
D(6;2;0). |
|
|
Задача 6. Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4 і довжину його висоти, опущеної з верши-
ни A4 на грань A1 A2 A3 .
6.1.A1 (3;4;5), A2 (1;2;1), A3 (−2;−3;6), A4 (3;−6;−3).
6.2.A1 (1;3;1), A2 (−1;4;6), A3 (−2;−3;4), A4 (3;4;−4).
6.3.A1 (2;4;1), A2 (−3;−2;4), A3 (3;5;−2), A4 (4;2;−3).
6.4.A1 (3;4;2), A2 (−2;3;−5), A3 (4;−3;6), A4 (6;−5;3).
17
6.5.A1 (−4;6;3), A2 (3;−5;1), A3 (2;6;−4), A4 (2;4;−5).
6.6.A1 (3;−2;6), A2 (−6;−2;6), A3 (1;1;−4), A4 (4;6;−7).
6.7.A1 (−5;−4;−3), A2 (7;3;−1), A3 (6;−2;0), A4 (3;2;−7).
6.8.A1 (7;4;9), A2 (1;−2;−3), A3 (−5;−3;0), A4 (1;−3;4).
6.9.A1 (−4;−5;−3), A2 (3;1;2), A3 (5;7;−6), A4 (6;−1;5).
6.10.A1 (−6;4;5), A2 (5;−7;3), A3 (4;2;−8), A4 (2;8;−3).
6.11.A1 (5;−4;4), A2 (−4;−6;5), A3 (3;2;−7), A4 (6;2;−9).
6.12.A1 (−7;−6;−5), A2 (5;1;−3), A3 (8;−4;0), A4 (3;4;−7).
6.13.A1 (7;−1;−2), A2 (1;7;8), A3 (3;7;9), A4 (−3;−5;2).
6.14.A1 (5;2;7), A2 (7;−6;−9), A3 (−7;−6;3), A4 (1;−5;2).
6.15.A1 (−6;−3;−5), A2 (5;1;7), A3 (3;5;−1), A4 (4;−2;9).
6.16.A1 (7;4;2), A2 (−5;3;−9), A3 (1;−5;3), A4 (7;−9;1).
6.17.A1 (4;3;1), A2 (2;7;5), A3 (−4;−2;4), A4 (2;−3;−5).
6.18.A1 (−9;−7;4), A2 (−4;3;−1), A3 (5;−4;2), A4 (3;4;4).
6.19.A1 (3;5;3), A2 (−3;2;8), A3 (−3;−2;6), A4 (7;8;−2).
6.20.A1 (−4;−2;−3), A2 (2;5;7), A3 (6;3;−1), A4 (6;−4;1).
6.21.A1 (1;3;6), A2 (2;2;1), A3 (−1;0;1), A4 (−4;6;−3).
6.22.A1 (7;2;4), A2 (7;−1;−2), A3 (3;3;1), A4 (−4;2;1).
6.23.A1 (14;4;5), A2 (−5;−3;2), A3 (5;2;6), A4 (8;4;−9).
6.24.A1 (−4;2;6), A2 (2;−3;0), A3 (−10;5;8), A4 (−5;2;−4).
6.25.A1 (−3;4;−7), A2 (1;5;−4), A3 (−5;−2;0), A4 (2;5;4).
18
6.26.A1 (5;2;0), A2 (2;5;0), A3 (1;2;4), A4 (−1;1;1).
6.27.A1 (−3;−5;6), A2 (2;1;−4), A3 (0;−3;−1), A4 (−5;2;−8).
6.28.A1 (3;10;−1), A2 (−2;3;−5), A3 (−6;0;−3), A4 (1;−1;2).
6.29.A1 (2;1;4), A2 (−1;5;−2), A3 (−7;−3;2), A4 (−6;−3;6).
6.30.A1 (2;3;1), A2 (4;1;−2), A3 (6;3;7), A4 (7;5;−3).
Задача 7. Середини сторін трикутника лежать у точках M1 , M 2 , M3 . Скласти рівняння сторони трикутника, яка про-
ходить через точку M1 (7.1−7.6).
7.1.M1 (−1;5), M 2 (3;4), M3 (8;−4).
7.2.M1 (−3;−5), M 2 (7;11), M3 (1;0).
7.3.M1 (−7;1), M 2 (2;−4), M3 (3;8).
7.4.M1 (−3;5), M 2 (2;2), M3 (1;−4).
7.5.M1 (1;5), M 2 (13;0), M3 (19;8).
7.6.M1 (2;1), M 2 (5;3), M3 (3;−4).
Задано вершини трикутника ABC . Скласти рівняння висоти трикутника, опущеної з вершини A (7.7 −7.12).
7.7.A(10;−1), B(−2;−6), C (−6;−3).
7.8.A(9;−1), B(3;5), C (−4;0).
7.9.A(10;−1), B(−5;−4), C (−9;−1).
7.10.A(6;1), B(−6;−4), C (−10;−1).
7.11.A(−1;5), B(11;0), C (17;8).
7.12.A(−4;2), B(2;−5), C (5;0).
Скласти рівняння сторін прямокутника, які проходять через вершину A , якщо відомі координати сусідньої вершини
B (7.13 −7.18).
19
7.13.A(−3;7), B(5;1).
7.14.A(4;−3), B(2;5).
7.15.A(1;2), B(−3;−7).
7.16.A(−5;9), B(4;3).
7.17.A(4;−1), B(7;11).
7.18.A(6;−5), B(7;3).
Задані координати вершин трикутника ABC . Скласти рівняння прямої, яка проходить через вершину B паралельно стороні AC (7.19 −7.24).
7.19.A(0;5), B(12;0), C (18;8).
7.20.A(−4;−5), B(8;0), C (−8;−2).
7.21.A(−6;0), B(6;5), C (−10;3).
7.22.A(11;2), B(−1;7), C (17;10).
7.23.A(2;1), B(−5;7), C (1;7).
7.24.A(1;1), B(2;4), C (3;2).
Вершини трикутника лежать у точках A , B , C . Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини A (7.25 −7.30).
7.25.A(−1;2), B(3;1), C (−1;8).
7.26.A(3;1), B(−1;1), C (4;2).
7.27.A(−2;6), B(10;1), C (16;9).
7.28.A(2;2), B(3;7), C (−5;1).
7.29.A(1;7), B(−2;−4), C (8;1).
7.30.A(−4;2), B(2;0), C (2;−4).
20
Задача 8.
8.1.Рівняння однієї із сторін квадрата x + 2 y −5 = 0 . Скласти рівняння трьох інших сторін квадрата, якщо P(−1;0) – точка перетину його діагоналей. Зробити рисунок.
8.2.Дано рівняння однієї із сторін ромба x −3y +10 = 0 і однієї з його діагоналей x +4 y −4 = 0 ; діагоналі ромба пере-
тинаються в точці P(0;1). Скласти рівняння інших сторін ромба. Зробити рисунок.
8.3. Дано рівняння двох сторін паралелограма x +2 y −2 = 0 і x + y −4 = 0 , а рівняння однієї із його діагоналей x −2 = 0 . Знайти координати вершин паралелограма. Зробити рисунок.
8.4. Дано вершини A(−3;−2), |
B(4;−1), C (1;3) трапеції |
ABCD . Відомо, що діагоналі трапеції взаємно перпендику- |
|
лярні. Знайти координати вершини |
D цієї трапеції. Зробити |
рисунок. |
|
8.5. Дано рівняння двох сторін трикутника 5x −4 y +15 = 0 і 4x + y −9 = 0 . Його медіани перетинаються в точці P(0;2). Скласти рівняння третьої сторони.
8.6. Скласти рівняння катетів рівнобедреного прямокутника трикутника, знаючи рівняння гіпотенузи y = 3x +5 і вершину
прямого кута (−4;1). Зробити рисунок.
8.7. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку
(−2;5) під кутом |
π , до прямої |
4x +3y −1 = 0 . Зробити рису- |
||||
нок. |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.8. Через |
точку перетину |
прямих 8x −3y −1 = 0 і |
||||
4x + y −13 = 0 |
|
провести |
пряму |
паралельно |
прямій |
|
4x +3y −5 = 0 і записати її рівняння. Зробити рисунок.