Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",
.pdf
|
|
|
|
|
|
21 |
8.9. Через |
точку перетину |
прямих |
5x −2 y +13 = 0 і |
|||
x +3y −11 = 0 |
провести |
пряму |
перпендикулярно |
прямій |
||
4x −7 y +12 = 0 і записати її рівняння. Зробити рисунок. |
|
|||||
8.10. Скласти |
рівняння |
двох |
сторін |
трикутника, |
якщо |
|
A(5;−5), B(−3;1) |
– дві його вершини, а D(2;5) – точка пере- |
|||||
тину його висот. Зробити рисунок.
8.11. Дано вершини A(2;−2), B(3;−1) і точка P(1;0) пере-
тину медіан трикутника ABC . Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної через третю вершину C . Зробити рисунок.
8.12. Дано рівняння двох медіан трикутника x −2 y +1 = 0 і
y −1 = 0 і одна із його вершин |
A(1;3). Скласти рівняння його |
||||
сторін. Зробити рисунок. |
|
|
|
|
|
8.13. Дві |
сторони |
трикутника |
задані |
рівняннями |
|
5x −2 y −8 = 0 |
і 3x −2 y −8 = 0 , |
а середина третьої сторони |
|||
співпадає з початком координат. Скласти рівняння цієї сторони. Зробити рисунок.
8.14. Сторони |
AB і BC паралелограма задані рівняннями |
|
2x − y +5 = 0 і |
x + 2 y −4 = 0 , діагоналі його перетинаються в |
|
точці M (1;4). Знайти довжини його висот. Зробити рисунок. |
||
8.15. Дано |
|
рівняння двох сторін прямокутника |
2x −3y +5 = 0 |
і |
3x + 2 y −7 = 0 і одна з його вершин O(0;0). |
Скласти рівняння двох інших сторін прямокутника. Зробити рисунок.
8.16.На прямій 2x + y +6 = 0 знайти точку, рівновіддалену від двох точок A(2;3), B(4;5). Зробити рисунок.
8.17.Знайти відстань від точки A(1;2) до прямої, яка проходить через точки B(3;8) і C (5;−13). Зробити рисунок.
22
8.18. Дано трикутник з вершинами A(−1;2), B(3;4), C (1;−6). Обчислити відстань від вершини B до медіани, яка проведена із вершини A . Зробити рисунок.
8.19. Дано рівняння двох паралелограма x − y −1 = 0 і x −2 y −1 = 0 і точку P(2;−2) перетину його діагоналей. Скла-
сти рівняння двох інших сторін паралелограма. Зробити рисунок.
8.20. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку A(4;1) на відстані 4 одиниці від точки B(−4;0). Зробити рисунок.
8.21. Дано дві протилежні вершини квадрата A(2;1) і C (4;5). Знайти дві інші вершини квадрата. Зробити рисунок.
8.22.Через точку M (1;2) провести пряму, відстань до якої від точок M 2 (2;3) і M3 (2;3) були б однакові. Зробити рисунок.
8.23.Через точку P(0;1) провести пряму так, щоб її відрі-
зок, який міститься між двома даними прямими x −3y +10 = 0
і2x + y −8 = 0 , ділиться в точці P навпіл. Зробити рисунок.
8.24.Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну з його вершин A(−4;2) і рівняння двох медіан: 3x −2 y + 2 = 0 і
3x +5 y −12 = 0 . Зробити рисунок.
8.25. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку перетину прямих 2x +5 y +8 = 0 і 3x −4 y −7 = 0 під кутом 45°
до прямої y = 4x +3 . Зробити рисунок. |
|
|
8.26. Дано точки |
A(−4;0) і B(2;−8). |
Знайти на прямій |
x +1 = 0 таку точку |
M , щоб прямі AM і |
BM були взаємно |
перпендикулярні. Зробити рисунок.
23
8.27. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку A(1;2), так, що її відрізок, який заключний між осями координат, ділився в точці A пополам. Зробити рисунок.
8.28. Скласти рівняння сторони трикутника, якщо відомо, що її серединою є точка P(−1;−1), а дві інші сторони трикутника задаються рівняннями 5x −2 y −5 = 0 і 3x −2 y −7 = 0 . Зробити рисунок.
8.29.Точка A(−4;5) є вершиною квадрата, діагональ якого лежить на прямій 7x − y +8 = 0 . Скласти рівняння сторін, та іншої діагоналі цього квадрата. Зробити рисунок.
8.30.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку A(4;3) і відтинає від його координатного кута трикутник з
площею, що дорівнює 3 кв.од. Зробити рисунок.
Задача 9. Задано чотири точки A1 (x1; y1; z1 ), A2 (x2 ; y2 ; z2 ), A3 (x3 ; y3 ; z3 ), A4 (x4 ; y4 ; z4 ). Скласти рівняння:
а) площини A1 A2 A3 ; б) прямої A1 A2 ;
в) прямої A4 M , перпендикулярної до площини A1 A2 A3 ; г) прямої A3 N , паралельної прямій A1 A2 .
9.1.A1 (3;2;5), A2 (4;0;6), A3 (2;6;5), A4 (4;6;−1).
9.2.A1 (2;1;7), A2 (3;3;6), A3 (2;−3;9), A4 (1;2;5).
9.3.A1 (2;1;6), A2 (1;4;9), A3 (2;−5;8), A4 (5;4;2).
9.4.A1 (2;−1;7), A2 (6;3;1), A3 (3;2;8), A4 (2;−3;7).
9.5.A1 (0;4;5), A2 (3;−2;1), A3 (4;5;6), A4 (3;3;2).
9.6.A1 (1;−1;3), A2 (6;5;8), A3 (3;5;8), A4 (8;4;1).
9.7.A1 (1;−2;7), A2 (4;2;10), A3 (2;3;5), A4 (5;3;7).
9.8.A1 (4;2;10), A2 (1;2;0), A3 (3;5;7), A4 (2;−3;5).
24
9.9.A1 (2;3;5), A2 (5;3;−7), A3 (1;2;7), A4 (4;2;0).
9.10.A1 (5;3;7), A2 (−2;3;5), A3 (4;2;10), A4 (1;2;7).
9.11.A1 (4;3;5), A2 (1;9;7), A3 (0;2;0), A4 (5;3;10).
9.12.A1 (3;1;4), A2 (−1;6;1), A3 (−1;1;6), A4 (0;4;−1).
9.13.A1 (8;−6;4), A2 (10;5;−5), A3 (5;6;−8), A4 (8;10;7).
9.14.A1 (3;−1;2), A2 (−1;0;1), A3 (1;7;3), A4 (8;5;8).
9.15.A1 (7;2;2), A2 (−5;7;−7), A3 (5;−3;1), A4 (2;3;7).
9.16.A1 (2;4;3), A2 (1;1;5), A3 (4;9;3), A4 (3;6;7).
9.17.A1 (6;6;5), A2 (4;9;5), A3 (4;6;11), A4 (6;9;3).
9.18.A1 (3;5;4), A2 (5;8;3), A3 (1;2;−2), A4 (−1;0;2).
9.19.A1 (1;8;2), A2 (5;2;6), A3 (5;7;4), A4 (4;10;9).
9.20.A1 (9;5;5), A2 (−3;7;1), A3 (5;7;8), A4 (6;9;2).
9.21.A1 (10;9;6), A2 (2;8;2), A3 (9;8;9), A4 (7;10;3).
9.22.A1 (0;7;1), A2 (2;−1;5), A3 (1;6;3), A4 (3;−9;8).
9.23.A1 (3;5;4), A2 (8;7;4), A3 (5;10;4), A4 (4;7;8).
9.24.A1 (5;5;4), A2 (1;−1;4), A3 (3;5;1), A4 (5;8;−1).
9.25.A1 (4;6;5), A2 (6;9;4), A3 (2;10;10), A4 (7;5;9).
9.26.A1 (6;1;1), A2 (4;6;6), A3 (4;2;0), A4 (1;2;6).
9.27.A1 (4;4;10), A2 (7;10;2), A3 (2;8;4), A4 (9;6;9).
9.28.A1 (7;5;3), A2 (9;4;4), A3 (4;5;7), A4 (7;9;6).
9.29.A1 (4;2;5), A2 (0;7;1), A3 (0;2;7), A4 (1;5;0).
25
9.30.A1 (6;8;2), A2 (5;4;7), A3 (2;4;7), A4 (7;3;7).
Задача 10. Знайти відстань від точки M 0 до площини, яка проходить через три точки M1 , M 2 , M3 .
10.1.M1 (1;5;−7), M 2 (−3;6;3), M3 (−2;7;3), M 0 (1;−1;2).
10.2.M1 (−3;4;7), M 2 (1;5;−4), M3 (−5;−2;0), M 0 (−12;7;−1).
10.3.M1 (1;1;−1), M 2 (2;3;1), M3 (3;2;1), M 0 (−3;−7;6).
10.4.M1 (−1;2;−3), M 2 (4;−1;0), M3 (2;1;−2), M 0 (1;−6;−5).
10.5.M1 (2;3;1), M 2 (4;1;−2), M3 (6;3;7), M 0 (−5;−4;8).
10.6.M1 (3;2;−2), M 2 (0;−6;−1), M3 (5;−9;−8), M 0 (3;−8;−5).
10.7.M1 (−3;−1;1), M 2 (−9;1;−2), M3 (3;−5;4), M 0 (−7;0;−1).
10.8.M1 (1;1;2), M 2 (−1;1;3), M3 (2;−2;4), M 0 (2;3;8).
10.9.M1 (1;−1;1), M 2 (−2;0;3), M3 (2;1;−1), M 0 (−2;4;2).
10.10.M1 (2;−1;2), M 2 (1;2;−1), M3 (3;2;1), M 0 (−5;3;7).
10.11.M1 (1;2;0), M 2 (1;−1;2), M3 (0;1;−1), M 0 (2;−1;4).
10.12.M1 (1;2;0), M 2 (3;0;−3), M3 (5;2;6), M 0 (−13;−8;16).
10.13.M1 (1;0;2), M 2 (1;2;−2), M3 (2;−2;1), M 0 (−5;−9;1).
10.14.M1 (14;4;5), M 2 (−5;−3;2), M3 (−2;−6;−3),
M 0 (−1;−8;7).
10.15.M1 (1;2;3), M 2 (1;0;1), M3 (−2;−1;6), M 0 (3;−2;−9).
10.16.M1 (−2;0;−4), M 2 (−1;7;1), M3 (4;−8;−4), M 0 (−6;5;−5).
26
10.17.M1 (3;10;−1), M 2 (−2;3;−5), M3 (−6;0;−3), M 0 (−6;7;−10).
10.18.M1 (2;−1;−2), M 2 (1;2;1), M3 (5;0;−6), M 0 (14;−3;7).
10.19.M1 (−1;2;4), M 2 (−1;−2;−4), M3 (3;0;−1), M 0 (−2;3;5).
10.20.M1 (5;2;0), M 2 (2;5;0), M3 (1;2;4), M 0 (−3;−6;−8).
10.21.M1 (0;−3;1), M 2 (−4;1;2), M3 (2;−1;5), M 0 (−3;4;5).
10.22.M1 (0;−1;−1), M 2 (−2;3;5), M3 (1;−5;−9),
M 0 (−4;−13;6).
10.23.M1 (1;3;0), M 2 (4;−1;2), M3 (3;0;1), M 0 (4;3;0).
10.24.M1 (−1;−5;2), M 2 (−6;0;−3), M3 (3;6;−3),
M 0 (10;−8;−7).
10.25.M1 (−2;−1;−1), M 2 (0;3;2), M3 (3;1;−4), M 0 (−21;20;−16).
10.26.M1 (2;1;4), M 2 (3;5;−2), M3 (−7;−3;2), M 0 (−3;1;8).
10.27.M1 (−3;−5;6), M 2 (2;1;−4), M3 (0;−3;−1), M 0 (3;6;68).
10.28.M1 (7;2;4), M 2 (7;−1;−2), M3 (−5;−2;−1), M 0 (10;1;8).
10.29.M1 (2;−4;−3), M 2 (5;−6;0), M3 (−1;3;−3), M 0 (2;−10;8).
10.30.M1 (1;−1;2), M 2 (2;1;2), M3 (1;1;4), M 0 (−3;2;7).
Задача 11. Скласти рівняння площини, яка проходить че-
рез точку A перпендикулярно вектору BC .
11.1. A(−7;0;3), B(1;−5;−4), C (2;−3;0).
27
11.2.A(1;0;−6), B(−7;2;1), C (−9;6;1).
11.3.A(0;−3;5), B(−7;2;6), C (−3;2;4).
11.4.A(−3;1;0), B(6;3;3), C (9;4;−2).
11.5.A(5;−1;2), B(2;−4;3), C (4;−1;3).
11.6.A(−4;−2;5), B(−2;−3;−7), C (9;3;7).
11.7.A(−3;7;2), B(3;5;1), C (4;5;3).
11.8.A(0;−8;10), B(−5;5;7), C (−8;0;4).
11.9.A(0;−2;8), B(4;3;2), C (1;2;3).
11.10.A(1;−5;−2), B(6;−2;1), C (2;−2;−2).
11.11.A(1;−1;5), B(0;7;8), C (−1;3;8).
11.12.A(0;7;−9), B(−1;8;−11), C (−4;3;−12).
11.13.A(−10;0;9), B(12;4;11), C (8;5;15).
11.14.A(−3;−1;7), B(0;2;−6), C (2;3;−5).
11.15.A(3;−3;−6), B(1;9;−5), C (6;6;−4).
11.16.A(5;3;1), B(0;0;−3), C (5;−1;0).
11.17.A(2;1;7), B(9;0;2), C (9;2;3).
11.18.A(−1;2;−2), B(13;14;1), C (14;15;2).
11.19.A(−7;1;4), B(8;11;−3), C (9;9;−1).
11.20.A(7;−5;0), B(8;3;−1), C (8;5;1).
11.21.A(1;0;−2), B(2;−1;3), C (0;−3;2).
11.22.A(−3;6;4), B(8;−3;5), C (10;−3;7).
11.23.A(−1;3;4), B(−1;5;0), C (2;6;1).
28
11.24.A(2;5;−3), B(7;8;−1), C (9;7;4).
11.25.A(4;−2;0), B(1;−1;−5), C (−2;1;−3).
11.26.A(1;9;6), B(5;7;1), C (3;5;0).
11.27.A(−8;0;7), B(−3;2;4), C (−1;4;5).
11.28.A(−2;0;−5), B(2;7;−3), C (1;10;−1).
11.29.A(7;−5;1), B(5;−1;−3), C (3;0;−4).
11.30.A(1;−1;8), B(−4;−3;10), C (−1;−1;7).
Задача 12. Знайти кут між площинами.
12.1. |
x + 2 y + 2z −3 = 0 , |
2x − y + 2z +5 = 0 . |
|
12.2. |
x + y + z 2 −3 = 0 |
, |
x − y + z 2 −1 = 0 . |
12.3. |
3x + 2 y −3z −1 = 0 |
, |
x + y + z −7 = 0 . |
12.4. |
x + 2 y −2z −7 = 0 , |
x + y −35 = 0 . |
|
12.5. |
x + y − z +3 = 0 , |
|
x −3y −2z −8 = 0 . |
12.6. |
3x − y −5z = 0 , |
2x + y −3 = 0 . |
|
12.7.y + z +5 = 0 , 3x −2 y +3z + 23 = 0 .
12.8. 2x −2 y −5 = 0 , |
x − y +7z −1 = 0 . |
12.9.x + z −1 = 0 , x + y +3z −7 = 0 .
12.10. 5x −15 y +35z −3 = 0 , |
2x −6 y +14z −1 = 0 . |
12.11.x −2 y −1 = 0 , x −2 y + 2z +17 = 0 .
12.12. |
x − y + 2z −1 = 0 , |
2 y + z −9 = 0 . |
12.13. |
x + y +6 = 0 , |
x + 2 y −1 = 0 . |
12.14. |
2x + y + 4z −3 = 0 , x + 4 y − z +1 = 0 . |
|
29
12.15. |
2x +3y −7 = 0 , |
|
2x − z +5 = 0 . |
|
12.16. |
x + 2 y + 2z +5 = 0 , |
|
|
2x +3z −2 = 0 . |
12.17. |
5x +3y + z −18 = 0 , |
|
2 y + z −9 = 0 . |
|
12.18. |
x − y +3z −1 = 0 , |
|
2x + 2 y + z +9 = 0 . |
|
12.19. |
2x − y +5z −16 = 0 , |
|
x −3y +5 = 0 . |
|
12.20. |
x + y −3z −7 = 0 , |
|
3x −2 y −2z −16 = 0 . |
|
12.21. |
x + z −1 = 0 , |
x −3y + z −1 = 0 . |
||
12.22. |
x + z +5 = 0 , |
3x + y + z −4 = 0 . |
||
12.23. |
x −4 y − z +9 = 0 , |
|
|
4x −5 y +3z −1 = 0 . |
12.24. |
16x +12 y −15z −1 = 0 , |
x + 2 y + 2z −3 = 0 . |
||
12.25. |
5x +9 y −3z −1 = 0 , |
|
3x − y + 2z +15 = 0 . |
|
12.26. |
x + 2 y +6z −12 = 0 , |
|
6x +3y −2z = 0 . |
|
12.27. |
9x +3y −6z −4 = 0 , |
|
6x + 2 y −4z +17 = 0 . |
|
12.28. |
x − y 2 + z −1 = 0 , |
|
x + y 2 − z +3 = 0 . |
|
12.29. |
3y − z = 0 , |
2 y + z = 0 . |
||
12.30. |
6x − y +5z −1 = 0 , |
|
|
3x −5 y + z = 0 . |
Задача 13. Пряма задана загальними рівняннями. Скласти
канонічні рівняння цієї прямої. |
|
|
|
|
13.1. |
2x + y −3z −2 = 0, |
13.2. |
2x −3y + z −1 = 0, |
|
|
|
= 0. |
||
|
2x − y + z +6 = 0. |
|
x −3y + z +3 |
|
x + y −2z −2 = 0,
x − y + z +2 = 0.
6x −5 y +3z +8 = 0,
13.4.
6x +5 y −4z +4 = 0.
30
13.5. |
x +5 y − z +11 = 0, |
|
|
|
x − y +2z −1 = 0. |
13.7. |
x − y + z −2 = 0, |
|
|
|
x −2 y − z +4 = 0. |
13.9. |
6x −7 y − z −2 = 0, |
|
|
|
x +7 y −4z −5 = 0. |
13.11. |
2x −5y − z +5 = 0, |
|
|
+5 y +2z −5 = 0. |
|
|
x |
|
13.13. |
2x + y + z −2 = 0, |
|
|
|
|
|
2x − y −3z +6 = 0. |
|
13.15. |
x +3y + z +14 = 0, |
|
|
−3y +2z +2 = 0. |
|
|
x |
|
13.17. |
x −2 y + z −4 = 0, |
|
|
|
|
|
2x +2 y − z −8 = 0. |
|
13.19. |
x + y + z −2 = 0, |
|
|
− y −2z +2 = 0. |
|
|
x |
|
13.21. |
2x +3y + z +6 = 0, |
|
|
|
|
|
x −3y −2z +3 = 0. |
|
13.23. |
3x − y +2z = 0, |
|
|
|
|
|
3x + y − z −6 = 0. |
|
13.25. |
x +5 y +2z +11 = 0, |
|
|
x − y − z −1 = 0. |
|
|
|
|
3x +4 y −2z +1 = 0,
2x −4 y +3z +4 = 0.
13.6. |
3x +3y + z −1 = 0, |
|
|
|
2x −3y +6 = 0. |
13.8. |
3x +4 y +3z +1 = 0, |
|
|
|
2x −4 y −2z +4 = 0. |
13.10. |
x −3y + z +3 = 0, |
|
|
|
2x +3y −2z +6 = 0. |
13.12. |
x −3y + z +2 = 0, |
|
|
|
x +3y +2z +14 = 0. |
13.14. |
4x + y + z +2 = 0, |
|
|
|
2x − y −3z −8 = 0. |
13.16. |
5x + y +2z +4 = 0, |
|
|
|
x − y −3z +2 = 0. |
13.18. |
x −3y −2z +3 = 0, |
|
|
|
2x −3y + z +6 = 0. |
13.20. |
x +5 y − z −5 = 0, |
|
|
|
2x −5 y +2z +5 = 0. |
13.22. |
6x −5 y −4z +8 = 0, |
|
|
|
6x +5 y +3z +4 = 0. |
13.24. |
8x − y −3z −1 = 0, |
|
|
|
x + y + z +10 = 0. |
13.26. |
6x −7 y −4z −2 = 0, |
|
|
|
x +7 y − z −5 = 0. |
13.28. |
3x +3y −2z −1 = 0, |
|
|
|
2x −3y + z +6 = 0. |