Завдання для самостійного розв’язування

4.1. Знайти відстань від точки до початку координат.

2. Знайти довжини сторін трикутника, якщо відомі координати його вершин , , .

3. Відрізок між точками і розділений на п’ять рівних частин. Знайти координати точок поділу.

4. Знайти координати кінця відрізка , якщо його початок – точка , а його середина – точка .

5. Знайти точку перетину медіан трикутника, якщо відомі його вершини: , , .

6. Обчислити довжину медіан трикутника, якщо відомі його вершини: , , .

7. Задані вершини трикутника: а) , , ;

б) , , ; в) , , .

Знайти точку перетину бісектриси кута з протилежною стороною .

Відповіді: 4.1. . 4.2. . 4.3. , , , . 4.4. . 4.5. . 4.6. , , . 4.7. а) ; б) ; в) .

§5. Рівняння лінії

Найважливішим поняттям аналітичної геометрії є рівняння лінії.

Лінія – це геометрична множина точок, які мають певну властивість.

Наприклад, геометрична множина точок, рівновіддалених від двох заданих точок – це пряма (серединний перпендикуляр), а геометрична множина точок, рівновіддалених від однієї точки – це коло.

Рівняння лінії на площині – це рівняння , яке за допомогою певного закону або правила пов’язує змінні та .

Основне означення аналітичної геометрії. Рівняння вигляду є рівнянням лінії на площині , якщо координати кожної точки, що належить лінії , задовольняють це рівняння, а координати кожної точки, яка не належить лінії , не задовольняють рівняння .

Виходячи з цього означення, виникають такі основні задачі аналітичної геометрії:

1. Дано рівняння деякої лінії. Треба за даним рівнянням знайти відповідний геометричний образ.

2. Дана лінія, як множина точок, які мають певну геометричну властивість. Треба скласти рівняння цієї лінії.

3. Задані рівняння двох ліній. Треба знайти точки перетину цих ліній або встановити, що задані лінії не перетинаються.

Приклад 1. Дано рівняння лінії : .

y x Очевидно, геометричним образом даного рівняння є множина точок прямої (рис. 1). Наприклад, ; ; ;

. 1 1 2 Рис. 1

Приклад 2. Скласти рівняння кола радіуса з центром у точці . Візьмемо довільну точку на колі. Як відомо, точки кола рівновіддалені від центра на відстань , тобто (рис. 2). За формулою відстані між двома точками:

, або – рівняння шуканого кола.

М(х; у) Рис. 2

Приклад 3. Знайти точки перетину двох ліній:

а) та ; б) та .

Розв’язування. а) з основного означення аналітичної геометрії випливає, що координати точок перетину ліній повинні задовольняти систему рівнянь цих ліній:

.

Отже, маємо дві точки перетину та (рис. 3).

б) Пряма лінія і коло не мають спільних точок, оскільки система не має розв’язків (рис. 4).

у

у х 0 Рис. 3

х 0 1 2 Рис. 4