§6. Пряма лінія

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.

y x	Нехай – задана точка. – заданий вектор. Оберемо на прямій довільну точку з поточними координатами та . Розглянемо вектор =.

За умовою .

Отже, маємо:

(1)

– рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Якщо зробити перетворення рівняння (1)

і позначити , то отримуємо:

, де (2)

• загальне рівняння прямої на площині.

Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до вектора .

Розв’язування. За формулою (1) отримуємо: ,

або – загальне рівняння прямої.

Приклад 2. Скласти рівняння висоти трикутника, яка проходить через точку , якщо відомі вершини трикутника: , , .

Розв’язування. Знайдемо вектор , який перпендикулярний до шуканої висоти: .

Скористаємось рівнянням (1). Тоді маємо: ,

; – шукане рівняння.

Дослідження загального рівняння прямої

, .

Розглянемо положення прямої на площині залежно від коефіцієнтів рівняння.

І. .

а) ; . Отримуємо: , звідки – пряма проходить через початок координат.

у L х 0

б) ; . Отримуємо: , звідки – вісь .	y 0 x
в) ; . Отримуємо: , звідки – вісь .	y 0 х
II..
а) ; . Отримуємо: , звідки – пряма паралельна осі .	у L 0 х
б) ; . Отримуємо: , звідки – пряма паралельна осі .	у L 0 х

Із дослідження загального рівняння прямої випливає така

Теорема. Будь-яке рівняння першого степеня з двома змінними (2) визначає деяку пряму на площині і навпаки, будь-яка пряма на площині визначається деяким рівнянням (2).