Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи

Модуль різниці фокальних радіусів є величина стала, що дорівнює дійсній осі:

.

Зауважимо, що цю властивість можна прийняти як геометричне означення гіперболи.

б) рівняння визначає так звану „спряжену” до випадку а) гіперболу з дійсною віссю – на прямій (див. рис.6):

F₁

M (x, y)

y

F2 x 0 B1 B2 A1 A2 b b a a O’ y = y0 x = x0 Рис.6

Параметри аналогічні гіперболі а) , тільки: – уявна, – дійсна півосі; фокуси і вершини знаходяться на прямій ; ексцентриситет .

Наприклад: ; гіперболічний випадок

; ;

;

;

;

; ;

– гіпербола. (рис.7)

Схематична побудова:

х у 3 F2 F1 2,2 3,7 Рис.7 3,7

Параметри: центр ; – уявна, – дійсна півосі; фокуси – на прямій ; відстань від центра до фокусів .

2. Якщо , то ліву частину рівняння (8.2) можна розкласти на множники як різницю квадратів:

,

тому рівняння визначатиме на площині дві прямі (вироджена гіпербола).

Наприклад: ;гіпербола;

;

;

;

–1 3 1 х y 5 l1 l2 Рис.8

; ; ; – дві прямі (рис.8)

Рівнобічна гіпербола

Розглянемо рівнобічну гіперболу з центром у точці :

або (рис.9)

а а y x x’ y’ Рис.9

Очевидно, асимптотами рівнобічної гіперболи є бісектриси І, ІІІ і ІІ, ІV координатних кутів, які визначаються рівняннями і . Розглянемо рівняння гіперболи в новій системі координат , зробивши поворот старої системи на кут . При цьому ; : ;

; ; або , де .

Висновок: Графіком функції (оберненої пропорційної залежності) є рівнобічна гіпербола. Неважко показати, що графіком дробово–лінійної функції теж є рівнобічна гіпербола.

Наприклад: побудувати графік функції .

y x 2 1 x = 1 y = 2 O’ 0 Рис.10

Виконаємо перетворення: ; ; ; – рівнобічна гіпербола з центром ; асимптоти – прямі і (див. рис.10)

ІІІ. Параболічний випадок ()

1. Нехай . Якщо коефіцієнт при у загальному рівнянні (8.1) відмінний від нуля (), то, виділяючи повний квадрат по змінній , рівняння зводиться до одного із видів:

а) (рис.11) або

б) (рис.12) – нормальні рівняння параболи, які визначають на площині такі криві:

y а x = x0 – p/2 ) F p/2 p/2 y = y0 O’ x 0 x = x0 Рис.11

y x 0 x = x0 x = x0 + p/2 б y = y0 p/2 p/2 F Рис.12 )

Параметри парабол: – вершина; – фокус, – параметр, який дорівнює відстані від фокуса до директриси: для а) – пряма , для б) – пряма ; вітки параболи симетричні відносно осі параболи – прямої і направлені у випадку а) вправо, а у випадку б) вліво.