Завдання для самостійного розв’язування

6.1. Знайти рівняння висот трикутника, якщо відомі його вершини:

а) , , .

б) , , .

6.2. Скласти рівняння прямих, які проходять через вершини трикутника паралельно до протилежних сторін:

а) , , .

б) , , .

6.3. Подані рівняння прямих привести до рівнянь у відрізках на осях:

а) .	в) .
б) .	г) .

6.4. Скласти рівняння сторін трикутника, якщо:

а) , , .

б) , , .

6.5. Знайти відстань від точки до прямої .

6.6. Знайти довжину висоти, яка проведена з вершини , якщо відомі вершини трикутника: а) , , .

б) , , .

в) , , .

6.7. Задані вершини трикутника , , . Обчислити довжину перпендикуляра, опущеного з вершини на медіану, проведену з вершини .

Відповіді.

6.1. а) . .

б) . . .

6.2. а) ; ; .

б) ; ; .

6.3. а) .	в) .
б) .	г) .

6.4. а) : ,	б) : ,
: ,	: ,
: .	: .

6.5. 3.

6.6. а) ; б) ; в) .

6.7. .

§7. Перетворення системи координат

До перетворень системи координат відносяться паралельне перенесення та поворот.

1. Паралельне перенесення

Нехай на площині задана система координат . Зробимо перенесення координатних осей: , . При цьому початок нової системи координат: .

y	Розглянемо довільну точку , яка в системі має координати , а в – .

Перехід від “старої” до “нової” системи координат:

.

Перехід від “нової” до “старої” системи координат:

.

Приклад.

Рівняння деякої лінії має вигляд . Яким буде рівняння цієї ж лінії після переносу початку координат у точку .

Розв’язування.

Відповідно до формул (6) маємо: .

Підставимо цей вираз у дане рівняння:

;

;

.

Ми отримали рівняння даної лінії в новій системі координат , яке є рівнянням кола з центром у точці і радіусом .

2. Поворот координатних осей

Початок координат залишимо на своєму місці, а вісі повернемо на деякий кут .

Перехід від „нових” до „старих” координат точки : Перехід від „старих” до „нових” координат точки :

§8. Криві іі порядку

Розглянемо загальне рівняння ІІ степеня з двома змінними і :

, де . (8.1*)

Завжди можна підібрати кут , на який потрібно зробити поворот системи координат так, щоб у новій системі рівняння (8.1*) не містило добутку (тобто ). Тому далі розглядаємо рівняння

, де . (8.1)

Дослідимо три можливі випадки:

1. Еліптичний: (тобто коефіцієнти при і одного знака).

2. Гіперболічний: (коефіцієнти при і різного знака).

3. Параболічний: (тільки одна із змінних входить до рівняння у другому степені).

І. Еліптичний випадок (). Виділяючи повні квадрати по обох змінних, рівняння (8.1) зводимо до вигляду:

(8.2)

Продемонструємо цей процес на конкретному прикладі:

а) згрупуємо змінні:

б) винесемо за квадратні дужки коефіцієнти при , :

в) доповнюємо до повних квадратів:

г) розкриємо (лише квадратні) дужки і приведемо до вигляду (8.2):

.

Повернемося до рівняння (8.2). Це рівняння може визначати на площині різні множини точок, тому розглянемо всі можливі випадки:

1. Якщо , і – одного знака, то діленням обох частин рівняння (8.2) на дістанемо:

або .

Позначимо , . Тоді рівняння (8.2) набуває вигляду:

– нормальне рівняння еліпса.

Можна показати, що дане рівняння визначає на площині:

а) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі (див. рис.1):

y В1 M(x; y) a b А1 А2 a y0 y=y0 0' F1 F2 b c c B2 x0 x 0 x=x0 Рис.1

Параметри еліпса: центр – ; – велика вісь (або – велика піввісь); – мала вісь (або – мала піввісь); – фокуси, які лежать на великій осі і розташовані на відстані від центра ; ексцентриситет , який визначається як відношення міжфокусної відстані до великої осі і для еліпса ; – вершини еліпса.