§2. Елементи векторної алгебри

Величини бувають скалярні та векторні.

Величина називається скалярною, якщо вона повністю визначається своїм числовим значенням в обраній системі одиниць вимірювання.

Наприклад, довжина відрізка, температура, площа, час, об’єм, робота тощо.

Величина називається векторною, якщо вона визначається не тільки числовим значенням, але і напрямком.

Наприклад, швидкість, сила, прискорення.

Для характеристики таких величин уводять поняття вектора. Розділ математики, в якому вивчаються дії над векторами, називається векторною алгеброю. Векторна алгебра широко використовується у сучасній аналітичній геометрії.

Основні означення

Вектором називається напрямлений відрізок прямої.

Я

В

кщо точка – початок, а точка – кінець вектора, то це позначається або .

А

Довжина цього відрізка називається довжиною або модулем вектора і позначається або .

Вектор, початок якого співпадає з кінцем, тобто модуль якого дорівнює нулю, називається нульовим і позначається . Очевидно, напрямок нульового вектора довільний.

Вектори, які лежать на паралельних прямих або на одній і тій самій прямій, називаються колінеарними.

і колінеарні, співнапрямлені. і колінеарні, протилежно напрямлені.

Два вектори називаються рівними , якщо вони колінеарні, мають однаковий напрямок і однакову довжину.

З останнього означення випливає, що при паралельному перенесенні ми отримуємо вектор, рівний даному.

В алгебраїчній формі вектор можна задати його проекціями на вісі координат, тобто .

Якщо помістити початок вектора в точку (це завжди можна зробити паралельним перенесенням), то координати його кінця будуть дорівнювати проекціям вектора на вісі координат.

Приклад. ; ; ; . Таким чином, між векторами на площині та упорядкованими парами дійсних чисел встановлено взаємооднозначну відповідність.

Напрямок вектора визначається за допомогою напрямних косинусів, якими є косинуси кутів, утворених вектором з осями координат.

y

x 0	Напрямні косинуси обчислюються за формулами: ; . З попереднього прикладу для вектора : ; .

§3. Дії над векторами

Додавання. Щоб додати вектори і _, треба від кінця вектора побудувати (паралельним перенесенням) вектор , тоді вектор , початок якого співпадає з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого, є сумою векторів-доданків.

Правило розповсюджується на будь-яку скінчену кількість доданків.

Віднімання. Щоб відняти від вектора вектор , треба паралельним перенесенням привести їх до спільного початку, тоді вектор, який сполучає їх кінці і має напрямок від до (до від'ємника), є їхньою різницею.

Якщо вектори задані в алгебраїчній формі , то, щоб додати (відняти) вектори, треба додати (відняти) їхні координати, тобто

.

Приклад.

Якщо , , то

;

Множення на число. Щоб помножити вектор на число , треба помножити довжину вектора на число , тоді отримуємо колінеарний вектор , напрямок якого співпадає з напрямком вектора , якщо і протилежно напрямлений, якщо .

В алгебраїчній формі, щоб помножити вектор на число , треба помножити на це число координати вектора , тобто, якщо _, то .

Приклад.

Якщо ; , то .