76. Визначення гетероскедастичності та її природа.

У зв’язку із одним з припущень використання методу найменших квадратів необхідна наявність гомоскедастичності дисперсії залишків. Це означає, що для кожного фактору х_і залишки е_і мають однакову дисперсію. Якщо ця умова застосування МНК не дотримується, то спостерігається гетероскедастичність (див. рис. 5.1).

Гомоскедастичність залишків означає, що дисперсія залишків е_і однакова для кожного значення х. Використовуючи трьохвимірне зображення покажемо гомо- і гетероскедастичність.

Рис. 5.2. показує, що для кожного значення х_і розподіли залишків е_і однакові на відміну від розподілів на рис. 5.3, де діапазон варійованих залишків змінюється з переходом від одного значення х_і до іншого. Останнє явище і носить назву гетероскедастичності.

Гетероскедастичність призводить до того, що коефіцієнти регресії не є оцінками з мінімальною дисперсією. Гетероскедастичність буде відображатися на зменшенні ефективності оцінок b_i.

Вплив гетероскедастичності на оцінку інтервалу прогнозування і перевірку гіпотези полягає в тому, що хоча коефіцієнти і не зміщені, дисперсії і, відповідно, стандартні похибки цих оцінок будуть зміщеними. Якщо зміщення від’ємне, то оціночні стандартні похибки будуть менші, ніж вони повинні бути, а критерій перевірки – більше, ніж в реальності. Таким чином, можна зробити висновок, що коефіцієнт значимий, коли він таким не є. І навпаки, якщо зміщення додатне, то оціночні похибки будуть більші, ніж мають бути, а критерії перевірки – менші. Значить, можливе помилкове прийняття нуль-гіпотези.

Гетероскедастичність стає проблемою, коли значення змінних в рівнянні регресії значно відрізняються в різних спостереженнях. Якщо істинна залежність описується рівнянням регресії звичайним і зміни значень невключених змінних, і похибки вимірювання, впливаючи на випадковий член, роблять його порівняно малим при малих у та х і порівняно більшим – при великих у та х, то економічні змінні часто сумісно змінюють свій масштаб.

Гетероскедастичність може також проявлятися при аналізі часових рядів. Якщо спостереження, що використовуються для побудови регресії, являють собою дані часового ряду і якщо х та у збільшуються з часом, то може статися, що й дисперсія випадкового члена з часом буде зростати.

77. Тестування наявності гетероскедастичності.

Дуже часто появу проблему гетероскедастичності можна передбачити заздалегідь, засновуючись на знанні характеру даних. В таких випадках можна застосувати відповідних заходів по усуненню цього ефекту на етапі специфікації моделі регресії, і це дозволить зменшити, або, можливо, усунути необхідність формальної перевірки. До теперішнього часу для такої перевірки запропоновано велику кількість тестів (і критеріїв). Найбільш поширені тести – тест рангової кореляції Спірмена, тест Голдфелда-Квандта, тест Глейзера, тест Уайта.

Тест Уайта (White test).

Проводиться тест таким чином:

1. припустимо, що вихідна модель має вигляд:

В результаті оцінки даної моделі ми отримуємо регресійні залишки u_t;

2) оцінюється допоміжна регресія вигляду

,

де υ_t – нормально розподілена помилка, незалежна від u_t.

Допоміжна регресія дозволяє визначити, чи існує якась систематична можливість між змінами і будь-якою релевантною змінною моделі (щоб побачити, що релевантними є саме змінні, включені в допоміжну регресію, слід представити похибку у вигляді і підвести даний вираз в квадрат).

3) Досліджується статистика

де n – кількість спостережень;

m – кількість регресорів у допоміжній регресії (за винятком постійного члена) = кількість параметрів біля змінних х.

На основі статистики перевіряється нуль-гіпотеза Н₀:

α₂ = 0, і α₃ = 0 і α₄ = 0 і α₅ = 0 і α₆ = 0

Якщо фактичні значення статистики перевищують критичні величини розподілу , то нульова гіпотеза про гомоскедастичність залишків відхиляється, тобто робиться висновок про наявність гетероскедастичності.

Тест рангової кореляції Спірмена

При виконанні тесту рангової кореляції Спірмена передбачається, що дисперсія випадкового члена буде або збільшуватися, або зменшуватися по мірі збільшення х, і тому в регресії, що оцінюється за допомогою МНК, абсолютні величини залишків і значення х будуть корельованими. Дані по х і залишки упорядковується, і коефіцієнт рангової кореляції визначається як:

,

де D – різниця між рангом х та рангом е.

Якщо припустити, що коефіцієнт кореляції для генеральної сукупності дорівнює нулеві, то коефіцієнт рангової кореляції має нормальний розподіл з математичним сподіванням 0 і дисперсією 1/(n-1) у великих вибірках. Отже, відповідна тестова статистика дорівнює , і при використанні двостороннього критерію нульова гіпотеза про відсутність гетероскедастичності буде відхилена при рівні значимості в 5%, якщо вона перевищить 1,96, і при рівні значимості в 1%, якщо вона перевищить 2,58. Якщо в моделі регресії є більше однієї пояснювальної змінної, то перевірка гіпотези може виконуватися з використанням будь-якої з них. Або можна використати t-статистику, тоді

,

де n – кількість спостережень та df = (n-2) – кількість ступенів вільності. При даних ступенях вільності знаходимо t_kr. Якщо t>t_kr, то це підтверджує гіпотезу про гетероскедастичність. Якщо t<t_kr, то в регресійній моделі правильним буде припущення про гомоскедастичність.

Алгоритм тесту рангової кореляції Спірмена:

1. Будується регресійне рівняння і оцінюються параметри регресії.

2. Спостереженням х за зростанням привласнюються ранги.

3. Аналогічно до похибок e_i (за модулем) (відхилення від лінії регресії e_i, тобто (у_і – )) також привласнюються ранги в порядку зростання.

4. Знаходимо Di – різниці рангів та їх квадрати.

5. Оцінюється значення рангового коефіцієнту кореляції.

6. Розраховується t-статистика.

7. Робиться висновок щодо наявності або відсутності гетероскедастичності.

Тест Голдфелда-Квандта

Найбільш популярним формальним критерієм є критерій, запропонований С.Голдфелдом і Р.Квандтом в 1956 р. При проведенні перевірки по цьому критерію передбачається, що стандартне відхилення σ_і розподілу імовірностей u_і пропорційне значенню х в цьому спостереженні. Передбачається також, що випадковий член розподілений нормально і не піддається автокореляції.

Всі n спостережень у вибірці упорядковуються по величині х, після чого оцінюються окремі регресії для перших n^’ та останніх n^’ спостережень; середні (n-2n^’) відхиляються. Якщо передбачення відносно природи гетероскедастичності вірне, то дисперсія u в останніх n^’ спостереженнях буде більше, ніж в перших n^’, і це буде виражене в сумі квадратів залишків в двох вказаних „часткових” регресіях.

Позначаючи суми квадратів залишків в регресіях для перших n^’ і останніх n^’ спостережень відповідно через SSE₁ та SSE₂, знайдемо відношення SSЕ₂/SSЕ₁, яке має F-розподіл з (n^’-k-1) і (n^’-k-1) ступенями вільності, де k – число пояснювальних змінних в регресійному рівнянні. Потужність критерію залежить від вибору n^’ по відношенню до n. Засновуючись на результатах деяких проведених Голдфелдом та Квандтом експериментів, вони стверджують, що n^’ повинно складати близько 11 для n=30, і близько 22, коли n=60. Якщо в моделі є більше, ніж одна пояснювальна змінна, то спостереження має впорядковуватися по одній з них, яка, як передбачено, пов’язана з σ_і, і n^’ має бути більше, ніж k+1 (де k – кількість пояснювальних змінних).

Метод Голдфелда-Квандта також може використовуватися для перевірки на гетероскедастичність за припущення, що σ_і обернено пропорційна х_і, статистикою тепер є показник SSE₁/SSE₂, який знову має F-розподіл з (n^’-k-1) і (n^’-k-1) ступенями вільності.

Тест Глейзера

Тест Глейзера дозволяє дещо більш ретельно розглянути характер гетероскедастичності. Ми знімаємо припущення про те, що σ_і пропорційно х_і, і хочемо перевірити, чи може бути більш підходяща будь-яка інша функціональна форма, наприклад

(5.1)

Щоб використати даний метод, слід оцінити регресійну залежність у від х за допомогою звичайного МНК, а потім обчислити абсолютні величини залишків по функції (1.1) для даного значення . В кожному випадку нульова гіпотеза про відсутність гетероскедастичності буде відхилена, якщо оцінка β значимо відрізняється від нуля. Якщо при оцінюванні більш ніж однієї функції виходить значима оцінка β, то орієнтиром при визначенні характеру гетероскедастичності може служити найкраща з них.