86. Стаціонарні часові ряди.

Стаціонарний часовий ряд у широкому сенсі — це процес, для якого математичне сподівання та дисперсія існують і є сталими величинами, що не змінюються в часі, а автокореляційна (автоковаріаційна) функція залежить лише від різниці між двома моментами часу   і не залежить від конкретного періоду часу. Тобто для реалізації випадкового процесу  основ­ні моменти залишаються постійними й обмеженими у разі зміні часу  , для якого вони розраховуються, а саме: математичне сподівання:  , для всіх  ; дисперсія:  , для всіх  ; автоковаріація порядку : ,  для всіх  .

Для отримання практичних оцінок часових рядів користуються такими формулами: математичне сподівання:  ; дисперсія:  ;                                        автоковаріація порядку :  .

Зрушення в часі   називають часовим лагом. Зауважимо, що  ,коли   = 0, дорівнює дисперсії:    . При цьому  . Можна розглядати функцію   як усі можливі значення автоковаріацій, де   перебирає цілочисельні значення від   до  . Сукупність значень автоковаріацій за всіх можливих значень   називаютьавтоковаріаційною функцією випадкового процесу. Автоковаріаційна функ­ціястаціонарного часового ряду залежить лише від різниць моментів часу ( ). Ця функція парна, і досить розглядати невід’ємні  .

Як вже говорилося, стаціонарний часовий ряд можна задати чотирма параметрами: періодом або частотою, амплітудою, фазою і середнім значенням. Тому стаціонарний періодичний часовий ряд можна записати у формі, яка називається гармонійним уявленням. Читач може перевірити, що ряд на рис.. можна описати цією моделлю. Наприклад, якщо t ф, то Yt р + А, так як cos.

87. Однофакторні стохастичні моделі стаціонарних часових рядів.

Динамічним або часовим рядом (time series) будемо називати послідовність спостережень  , отриманих у рівновіддалені моменти часу, а відповідну йому ймовірнісну модель — дискретним випадковим абооднофакторним стохастичним процесом. Оскільки випадковий дискретний процес являє собою сукупність випадкових величин, то його найповнішою статистичною характеристикою є сумісна функція розподілу, або функція щільності розподілу. Щоб задати всі ймовірнісні властивості часового ряду, потрібна сукупність функцій розподілу, а саме одновимірна, дво­вимірна, тривимірна функції розподілу тощо:      . Індекси у величин   означають, що випад­кові величини розглядаються в моменти часу   і вони мають сумісну функцію розподілу. Якщо взяти інші моменти часу, то функція розподілу буде іншою. Така сукупність функцій розподілу цілковито характеризує випадковий процес.

Стаціонарні процеси. Економетричне моделювання відбувається, як правило, на підставі лише однієї реалізації випадкового процесу, тож ясно, що про оцінювання сукупності всіх функцій розподілу взагалі годі казати. Окрім того, якщо процес поводиться так, що його основні статистичні характеристики з часом змінюються, то за короткий проміжок часу спостережень про нього взагалі нічого не можна сказати. Проблема втрачає гостроту, якщо розглядати вужчий клас випадкових процесів, який дістав назву стаціонарних випадкових процесів. Під стаціонарністю розуміють такі випадкові процеси, деякі властивості яких не змі­нюються з часом. 

Однією з важливіших властивостей стаціонарного випадкового процесу є ергодичність. Вона полягає в тому, що кожна окрема реалізація випадкового процесу є так би мовити «повноважним» представником усієї сукупності можливих реалізацій. Звідси для ергодичних процесів основні характеристики можна приблизно розраховувати не за кількома реаліза- ціями, як це робиться в загальному випадку, а за будь-якою однією реалізацією за доволі тривалий проміжок часу. В практичних розрахунках розглядають стаціонарний процес у широкому сенсі.