81. Використання умнк для оцінки параметрів регресії у випадках гетероскедастичності.

Узагальнений метод найменших квадратів застосовується до перетворених даних і дозволяє отримати оцінки, які мають не тільки властивість незміщеності, але й мають найменші вибіркові дисперсії. На відміну від звичайного методу найменших квадратів (МНК), узагальнений метод (УМНК) враховує інформацію про неоднаковість дисперсії і тому здатний створити BLUE-оцінки.

Щоб проілюструвати, як користуватися цим методом, звернемося до простої лінійної регресії:

Простою математичною маніпуляцією запишемо:

(5.2)

де х_1і = 1 для кожного і.

Припустимо, що наявна гетероскедастичність і всі дисперсії σ² відомі. Поділимо (5.2) на σ_і, отримаємо:

(5.3),

де - випадкова похибка.

Перепишемо це рівняння у вигляді:

(5.4),

де зірочками позначені змінні, що поділені на σ_і.

Тепер дисперсія трансформованої помилки υ_і є постійною величиною, тобто для моделі (5.4) зберігається припущення про гомоскедастичність, і ми переходимо до класичної регресійної моделі. Справді,

Ми припускали, що σ²_і – відомі, звідси маємо:

_.

Тепер оцінки параметрів будуть BLUE-оцінками, відомими як УНК-оцінки. Процедура знаходження невідомих параметрів трансформованої моделі називається методом узагальнених найменших квадратів (УНК).

Як же отримати оцінки для β^*₁ та β^*₂ ? Для моделі (5.4) запишемо вибірковий аналог:

Для того, щоб знайти невідомі параметри за узагальненим методом найменших квадратів, мінімізуємо:

або

Розрахунки не наводимо, запишемо лише кінцевий результат. УНК-оцінка для β₂ дорівнює:

дисперсія параметра дорівнює:

де .

Яка існує різниця між звичайним та узагальненим методом найменших квадратів? За методом звичайних найменших квадратів невідомі параметри знаходяться шляхом мінімізації суми квадратів відхилень фактичних значень від теоретичних.

Для простої лінійної регресії маємо:

В узагальненому методі найменших квадратів мінімізується вираз:

де .

Наскільки дійсно впливає гетероскедастичність на оцінки? Дослідження Р.Гірі в 1966 році довели, що якщо стандартне відхилення випадкового члена пропорційно пояснювальним змінним в парній регресії, то дисперсія оцінки коефіцієнта нахилу може бути в три рази вище при використанні звичайного МНК у порівнянні з тим випадком, коли робиться поправка на гетероскедастичність.

82. Основні елементи часового ряду.

Економетричну модель можна побудувати, використавши два типи вихідних даних:

• дані, що характеризують сукупність різних об’єктів в певний момент (період) часу;

• дані, що характеризують один об’єкт за ряд послідовних моментів (періодів) часу.

Моделі, побудовані за даними першого типу, називаються просторовими моделями. Моделі, побудовані за даними другого типу, називають моделями часових рядів.

Часовий ряд - це сукупність значень будь-якого показника за декілька послідовних моментів (періодів) часу. Кожен рівень часового ряду формується під впливом великої кількості факторів, які умовно можна поділити на 3 групи:

1. фактори, що формують тенденцію ряду;

2. фактори, що формують циклічні коливання ряду;

3. випадкові фактори.

При різних сполученнях цих факторів залежність рівнів ряду від часу може приймати різні форми.

По-перше, більшість часових рядів економічних показників мають тенденцію, що характеризує сукупну довгочасну дію множини факторів на динаміку показника, що вивчається. Швидше за все, ці фактори, взяті окремо, можуть спричиняти різноспрямовану дію на показник, що досліджується. Однак в сукупності вони формують його зростаючу та спадну тенденцію. На рис. 6.1.а показано компоненту гіпотетичного часового ряду, що містить зростаючу тенденцію.

По-друге, для показника, що вивчається, можуть бути характерні циклічні коливання. Ці коливання можуть носити сезонний характер, оскільки економічна діяльність ряду галузей залежить від часу року (ціни на сільськогосподарську продукцію, ціни на відпочинок на курорті). При наявності великих масивів даних за тривалі проміжки часу можна виявити циклічні коливання, пов’язані з загальною динамікою кон’юнктури ринку, а також з фазою бізнес-циклу, в якій знаходиться економіка країни. (рис.6.1.б – містить тільки сезонну компоненту).

Деякі часові ряди не містять тенденції та циклічну компоненту, а кожен наступний їх рівень утворюється як сума середнього рівня ряду і деякої (додатної або від’ємної) випадкової компоненти. Приклад ряду, що містить тільки випадкову компоненту, наведений на рис. 6.1.в.

Очевидно, що реальні дані не відповідають повністю жодній з описаних вище моделей. Частіше за все, вони містять всі три компоненти. Кожен їх рівень формується під впливом тенденції, сезонних коливань і випадкової компоненти.

В більшості випадків фактичний рівень часового ряду можна представити як суму або добуток трендової, циклічної та випадкової компонент.

Модель, в якій часовий ряд представлений як сума перерахованих компонент, називається адитивною моделлю часового ряду.

Модель, в якій часовий ряд представлений як добуток перерахованих компонент, називається мультиплікативною моделлю.

Основна задача економетричного дослідження окремого часового ряду – виявлення і надання кількісного вираження кожній з перерахованих вище компонент, з тим, щоб використовувати отриману інформацію для прогнозування майбутніх значень ряду або при побудові моделей взаємозв’язку двох або більше часових рядів.