1.10.2. Дифракционная решетка

Рассмотрим теперь дифракцию от нескольких щелей одинаковой ширины «т» и расположенных на одинаковом расстоянии «т» друг от друга (рис. 1.11.6).

Рис. 1.11.6

Система таких параллельных щелей называется дифракционной решеткой. Работа дифракционной решетки происходит обычно в параллельных пучках света.

Здесь явление усложняется тем, что кроме дифракции, которая возникает от каждой щели, происходит сложение колебаний в световых пучках, прошедших разные щели, то есть, происходит интерференция многих пучков. Плоская волна, направленная перпендикулярно к плоскости дифракционной решетки, доходит до всех щелей одновременно. Поэтому можно считать, что все щели решетки излучают вторичные волны в одинаковой фазе.

Выделим одно направление распространения световой волны после дифракционной решетки, характеризуемое углом φ и рассмотрим результат интерференции волн. Как уже указывалось b – ширина щели, c – ширина перегородки. Величину a = b + c называют периодом или постоянной решетки.

Поскольку все щели находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, то разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей, LM₁, LM₂, и так далее, будет одинаковой для данного угла φ для всей решетки.

Эта разность λl меняется с изменением угла φ. В противоположность процессу, происходящему при дифракции на одной щели, где при разности хода равной четному числу полуволн, наблюдается минимум интенсивности (каждые две соседние зоны компенсируют друг друга), здесь все происходит иначе. Если разность хода λl=DM₁=LM₂ равна четному числу полуволн, то будет наблюдаться максимум интерференции. Это легко понять, если представить себе, что вся решетка есть одна щель, разбитая на зоны, ширина которых равна: , причем все четные зоны перекрыты перегородками между щелями.

Таким образом, действие первой зоны (нечетной) не может быть скомпенсировано второй (четной) зоны, так как она отсутствует (перекрыта), и так далее. В итоге амплитуда результирующего колебания, возникающего как интерференция пучков, прошедших все щели, равна сумме амплитуд всех составляющих колебаний, то есть, будет пропорциональна числу щелей в дифракционной решетке.

Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световых колебаний, интенсивность света в максимуме пропорциональна квадрату числа щелей дифракционной решетки.

Исходя из этого, условие получения дифракционного максимума записывается следующим образом:

или

При разности хода Δl равной нечетному числу волн, , волна, идущая от первой щели, погашается волной, идущей от второй щели; волна третьей щели – волной четвертой щели и так далее.

В фокальной плоскости оптической системы, установленной после дифракционной решетки, будет наблюдаться дифракционная картина, в виде полос, параллельной щелям, состоящая из ряда максимумов и минимумов. Увеличение числа щелей решетки приводит к тому, что максимумы получаются острыми и резкими. Эти рассуждения о виде дифракционной картины относятся, конечно, к монохроматическому свету.

Для белого света явление интерференции, являющееся следствием дифракции, несколько сложнее. Здесь нужно рассмотреть, во первых схему образования минимумом и максимумов, которые образуются в монохроматическом свете, и, во вторых, разное положение главных максимумов длин света с разной длиной волны.

Пусть от дифракционной решетки свет распространяется в таком направлении, что разность хода между лучами соседних щелей равна λ/4 , при наложении таких колебаний они только частично усиливают друг друга. В этом случае результирующее колебание имеет амплитуду, равную , где A₀ – амплитуда колебаний, возбуждаемых волной, исходящих от одной щели. Здесь разность хода лучей, идущих от первой и третей щелей будет равна λ/2 и интенсивность результирующего колебания окажется равной нулю. То же самое произойдет с колебаниями, идущих от второй и четвертой щели и так далее.

Таким образом, для решетки из четырех щелей мы будем иметь основные минимумы, определяемые разностью хода между соседними щелями , , и так далее. Между дополнительными минимумами возникают, естественно, и дополнительные максимумы, но они будут меньше по величине. Главный максимум же, оставшись по величине неизменным ( ~L² ) станет более узким.

Если мы имеем решетку из 8 щелей, то при разности хода между лучами соседних щелей мы можем по аналогии все повторить, только теперь минимумы будут получаться от взаимодействия колебаний от первой щели и пятой, второй и шестой и так далее. Дополнительные максимумы становятся еще меньше, а главный максимум еще уже и пропорциональный 8² . Следовательно по мере увеличения числа щелей дифракционной решетки, количество дополнительным максимумов и минимумов увеличивается, величина дополнительных максимумов уменьшается. Величина дополнительных максимумов растет пропорционально квадрату числа щелей решетки (рис.1.11.7). Поэтому, при достточно большом числе щелей решетки интенсивность дополнительных максимумов будет столь мала по сравнению с интенсивностью основных максимумов, что мы можем ею прнебречь и считать, что падающая световая волна распределяется только между основными максимумами. При дифракции белого света каждой длине волны будет соответствовать свой максимум, а вследствии того, что главные максимумы получаются очень узкими, различные длины волн практически не будут накладываться друг на друга.

Рис. 1.11.7

Дифракционные решетки с количеством штрихов на миллиметр до 1800 используются в спектральных приборах для разложения света в спектр, с помощью которого производится анализ различных веществ.

Степень наложения главных максимумов соседних длин волны, а также оптические параметры системы позволяют разрешающую способность спектрального прибора, то есть, способность прибора четко разделить соседние длины волн.

Такая решетка состоит из большого числа щелей шириной b, расположенных на расстоянии d друг от друга. Разумеется, b<d. Каждая щель может рассматриваться как источник цилиндрических волн, вызывающих электромагнитные колебания в некоторой удаленной зоне наблюдения. В этом случае оказывается справедливым результат, который мы получили для периодически расположенных точечных источников:

; .

E_

0 

E_

0 

Рис. 1.11.8

Но этот результат мы получили для изотропных точечных источников, интенсивность излучения которых не зависит от направления. Теперь у нас источниками являются щели, у которых амплитуда волны существенно зависит от направления наблюдения. Поэтому в выражение для углового распределения амплитуды волны, рождаемой периодически расположенными источниками, надо вставить угловое распределение амплитуды волны самих источников, щелей:

.

Это довольно сложное выражение, но смысл его должен быть понятен. Он поясняется и рисунком. Вверху показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой изотропными источниками. Внизу - угловое распределение амплитуды после прохождени светом решетки. Там же показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой щелью. По рис. 1.11.8 можно оценить отношение ширины щели к периоду решетки b/d.