1.4.2. Методы измерения пространственной и временной когерентности

Рассмотрим кратко оптические методы экспериментального определения пространственных и временных корреляционных функций, или, в терминах оптики, методы измерения пространственной и временной когерентности световых полей. Исторически понятие когерентности возникло в оптике в связи с интерпретацией результатов интерференционных опытов. Классические интерференционные опыты Юнга и Майкельсона оказываются прямыми методами измерения пространственных и временных корреляционных функций; распределение средней интенсивности в интерференционной картине непосредственно дает корреляционную функцию поля. Одновременно эти опыты можно рассматривать как схемы, поясняющие физический смысл пространственных и временных корреляционных функций. Обратимся к их рассмотрению. Начнем с определения пространственной когерентности с помощью интерферометра Юнга.

Рис.1.4.1. Схема интерферометра Юнга

Интерферометр Юнга представляет собой непрозрачный экран, в котором на некотором расстоянии s друг от друга вырезаны два малых отверстия Р₁ и Р₂ (рис.1.4.1). Пусть на такой экран перпендикулярно падает случайная линейно поляризованная волна, поле которой E(r,t) будем считать стационарным и однородным. Волновые пучки, исходящие из отверстий Р₁ и Р₂, интерферируют на экране Q₂, расположенном на некотором расстоянии от экрана Q₁.

Обозначим комплексное поле в точке Pj (i=1,2) через E(Pj,t), а расстояние между точкой Pj и произвольной точкой Р экрана Q₂ через lj=PjP. Суммарное электрическое поле в точке Р от двух отверстий равно

( 1.4.8)

где tj=lj/c - время запаздывания (дисперсией среды пренебрегаем).

Коэффициенты передачи К₁ и К₂ являются комплексными величинами, их абсолютные значения зависят от формы и размеров отверстий.

Для средней интенсивности в точке Р получаем

I(P) = <|E(P,t)|²> = K₁K₁^*I₁ + K₂K₂^*I₂ + K₁K₂^* <E(P₁,t-t₁)E^*(P₂,t-t₂)> + K₁^*K₂ <E^*(P₁,t-t₁)E(P₂,t-t₂)>

или

( 1.4.9)

Здесь - интенсивности светового поля в точках P₁ и P₂, - пространственно-временная корреляционная функция:

( 1.4.10)

t₂-t₂= , s - расстояние между точками Р₁ и Р₂ на экране Q₁; при этом учтена статистическая стационарность и однородность поля.

Если открыто лишь одно из отверстий в экране Q₁, то в точке Р интенсивность, очевидно, равна

Пользуясь этими обозначениями, выражение (1.4.9) можно переписать в виде

( 1.4.11)

где - комплексная степень когерентности.

Для электромагнитного поля вида

(e - единичный вектор поляризации волны, А - медленно меняющаяся амплитуда волны) корреляционная функция (1.4.4) равна

Индекс  означает, что корреляция оценивается в направлении, перпендикулярном оси z.

Следовательно,

( 1.1.12)

где

Таким образом, выражение (1.4.11) принимает вид

(1.4.13)

Параметры  и  равны соответственно:

где  ₀- средняя длина волны. При  << _к зависимость от  в (1.4.13) входит только через  , так что максимальные и минимальные значения интенсивности на экране Q₂ (рис.1.4.1) определяются выражением

( 1.4.14)

Контраст интерференционной картины, следуя Майкельсону, обычно характеризуют величиной

( 1.4.15)

которую называют видностью. В соответствии с (1.4.14) для видности в окрестности точки Р имеем

( 1.4.16)

Е сли интенсивности интерферирующих пучков одинаковы (I₁=I₂), то значение (1.4.16) максимально и

(1.4.17)

т.е. видность интерференционной картины просто равна степени пространственной когерентности. На рис. 1.4.2 приведено распределение интенсивности в интерференционной картине для различных видностей.

В общем случае видность (1.4.15) дает информацию о степени пространственно-временной когерентности. Если время задержки    _к, то видность будет зависеть от  :

( 1.4.18)

Рис.1.4.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине для различных видностей.

Таким образом, если временная задержка меньше времени корреляции  << _к, то интерферометр Юнга позволяет определить поперечную пространственную когерентность. Если мы хотим измерить не искаженную пространственной статистикой временную корреляционную функцию поля, следует обратиться к другой интерференционной схеме - интерферометру Майкельсона.

Понятие временной когерентности прямо связано с интерференционным экспериментом, схема которого изображена на рис. 1.4.3. Волна падает на наклонную полупрозрачную пластинку П интерферометра Майкельсона, формирующую два пучка. Эти пучки отражаются от зеркал З₁ и З₂. Затем один из них, пройдя через пластинку П, а другой, отразившись от нее, поступают на экран Q, где интерферируют. В плоскости экрана расположен детектор, измеряющий интенсивность (например, фотодетектор, величина тока которого пропорциональна средней интенсивности).

Р ис. 1.4.3

Если напряженность электрических полей пучков равна соответственно Е₁ и Е₁, то поле на экране Q равно

( 1.4.19)

где tj=2lj/c, lj- расстояние от зеркала З_j до пластинки П.

Выражение (1.4.19) аналогично (1.4.8). Поэтому расчеты, подобные выполненным выше, приводят к выражению для средней интенсивности

(1.4.20)

которое сходно с (1.4.13) ( =t₂-t₁).

Таким образом, изменяя временную задержку в схеме интерферометра Майкельсона от  =0 до    , из графика распределения средней интенсивности в интерференционной картине (интерферограмме) можно непосредственно определить временную корреляционную функцию светового поля.

К ак и для интерферометра Юнга, для интерферометра Майкельсона можно ввести понятие видности интерференционной картины. В данном случае им удобно пользоваться, если волна квазимонохроматическая, т.е. для такой волны, используя (1.4.15), для видности интерференционной картины в интерферометре Майкельсона вблизи заданного значения  при I₁=I₂ имеем

(1.4.21)

Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах: методе деления амплитуды и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.

Согласно такой классификации интерферометр Юнга - это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона - интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерферометр Майкельсона обладает большей светосилой, чем схема Юнга.

Проведение измерений пространственной и временной когерентности имеет большое значение для постановки экспериментов в области когерентной оптики. Как правило, такие измерения должны проводиться по отношению к любым источникам излучения, используемых в оптических исследованиях.