9.5. Голографическая запись информации [2, 6-9]

9.5.1. Принцип голографической записи

В отличие от фотографирования, регистрирующего лишь интенсивность волны, идущей от объекта, метод голографии позволяет записывать как амплитуду, так и фазу световых колебаний в плоскости наблюдения. В основе голографической записи лежит идея, согласно которой для выявления фазовой информации надо создать интерференцию исследуемой (объектной) волны с некоторой вспомогательной (опорной) волной. Будем описывать световые колебания объектной O и опорной R волн в точке M, лежащей в плоскости наблюдения, соответственно в виде выражений

(9.5.1)

(9.5.2)

o, r и j o, j r - соответственно амплитуды и фазы колебаний. Если в плоскости наблюдения расположить фотопластинку с идеальной линейной по интенсивности фотоэмульсией, то она зарегистрирует следующее распределение интенсивности:

(9.5.3)

После соответствующей обработки пропускание пластинки станет пропорционально I.

Если теперь эту пластинку осветить опорной волной R, то поле на выходе пластинки будет иметь вид

(9.5.4)

Последнее выражение составляет теоретическую основу голографии. В нем первое слагаемое  представляет собой поле опорной волны R, амплитуда которой промодулирована коэффициентом  ; второе слагаемое  - поле объектной волны, амплитуда которой промодулирована коэффициентом r². Если в качестве опорной волны используется плоская волна, то  и модуляция исчезает; объектная волна при этом равномерно ослабевает в соответствии с коэффициентом rо2. Наконец, третье слагаемое в выражении (9.5.4)  - описывает волну, комплексно-сопряженную с объектной волной. Оно несет информацию, хотя и очень близкую к информации об объекте, но отличающуюся от объектной волны наличием обратной фазы.

Остановимся теперь на конкретных схемах голографической записи и восстановления изображений. Наибольшее распространение получила схема, предложенная в 1962 г. американскими учеными Лейтом и Упатниексом. Ее упрощенный вариант приведен на рис. 9.5.1.  

Рис. 9.5.1. Схема записи (а) и восстановления (б) изображения: 1 - лазер; 2 - светоделительная пластина; 3,4 - поворотные зеркала; 5,6 - линзы; 7 - голографическая пластина; 8 - объект; 9 - наблюдатель; О - объектная волна; R - опорная волна

Как видно из рисунка, при восстановлении изображения используется пучок, который при записи выполняет роль опорного. Положение восстановленного изображения полностью соответствует положению объекта.

Другая схема, ориентированная на получение так называемых голограмм Фурье, будет далее рассмотрена более подробно.

9.5.2. Голограммы Фурье

Рассмотрим приведенную на рис. 9.5.2 схему получения голограммы Фурье с точечным опорным источником, расположенным на оси системы. Такая схема рассчитана на получение голограмм плоских предметов, как правило - изображений различных объектов на фотопленке. Голограммы Фурье широко используются для оптической обработки информации, а также в системах голографической памяти.

На схеме плоскость, в которой размещается пленка с изображениями объектов, обозначена буквой П, а плоскость, в которой формируется голограмма, - буквой Г. Плоскости П и Г совпадают с фокальными плоскостями линзы Л3. На плоскость П падает плоская волна когерентного света, создаваемая источником S. От этого же источника в плоскости П с помощью линз Л1 и Л2 формируется точечный источник S0, создающий опорную волну. Опорный и предметный пучки собираются линзой Л3 и в плоскости Г создают интерференционную картину, которая регистрируется помещенной в этой плоскости фотопленкой.

Рис. 3.5.2. Схема получения голограммы Фурье

Выберем в плоскости П систему координат Оху, а в плоскости Г - систему О1х1у1. Расположим начала координат этих систем на оптической оси линзы Л3. Точечный опорный источник S0 поместим в начало координат системы Оху. Комплексное световое поле, образованное источником S в плоскости фотопленки, обозначим двумерной функцией h(x,y). Комплексное световое поле в плоскости Г обозначим через g(x1,y1). Линза Л3 выполняет над функцией h(x,y) двумерное преобразование Фурье, так что функции h(x,y) и g(x1,y1) связаны следующей зависимостью:

(9.5.5)

где l - длина волны когерентного света источника S, f1 - фокусное расстояние линзы Л3. Запишем (3.5.5) в несколько иной форме:

(9.5.6)

из которой видно, что в подынтегральном выражении роль пространственных частот играют величины

(9.5.7)

Иначе:

(9.5.8)

Таким образом,

(9.5.9)

где H(p,q) - двумерное преобразование Фурье функции h(x,y), а p и q определяются равенствами (9.5.7). Будем называть H(p,q) комплексным спектром функции h(x,y), а его составляющие A(p,q) и  в соответсвии с выражением

- амплитудным и фазовым спектрами.

Вернемся к схеме рис. 9.5.2 и составим выражение для функции h(x,y). Как видно из рисунка, эта функция образуется двумя компонентами: полем опорного источника и полем, прошедшим пленку с изображением объекта. Так как мы рассматриваем опорный источник в виде идеальной точки, обозначим его поле с помощью двумерной дельта- функции Дирака с амплитудой волны А0, т.е.

(9.5.10)

Поле центрированного объекта обозначим через Е0(х,у). Ввиду того, что в принятой схеме объект смещен относительно начала координат на величину х0 и у0, то поле будет характеризоваться функцией Е0(х-х0, у-у0)=Е(х,у). Таким образом, получим:

(9.5.11)

Поле в плоскости Г определим в соответствии с выражением (9.5.8). Как известно, преобразование Фурье суммы функций равно сумме преобразований Фурье слагаемых, поэтому получим комплексные спектры слагаемых в (9.5.11) раздельно. Для первого слагаемого, вспоминая, что по одному из определений дельта- функции

получим:

(9.5.12)

Для второго слагаемого

Делая подстановку

получим

или

(9.5.13)

где  - комплексный спектр центрированного объекта.

Таким образом, учитывая, что

из (9.5.12) и (9.5.13) получим:

(9.5.14)

Комплексный спектр  центрированного объекта через амплитудный и фазовый спектры выразится следующим образом:

Поэтому для поля (9.5.14) будем иметь:

(9.5.15)

Голограмма получается регистрацией поля в плоскости Г на фотопленку. Ввиду того, что фотографическая эмульсия реагирует на интенсивность света I(p,q), прозрачность пленки t (p,q) (амплитудное пропускание) является функцией интенсивности:

, (9.5.16)

где g - коэффициент контрастности пленки. Коэффициент k определяется чувствительностью фотослоя и временем экспозиции.

Интенсивность светового поля в плоскости Г равна квадрату модуля функции g(x₁,y₁), т.е.

(9.5.17)

где

а звездочкой обозначена комплексно сопряженная величина. Подставив в (9.5.17) вместо g(x1,y1) ее значение из (9.5.15), получим:

(9.5.18)

Здесь

(9.5.19)

Учитывая, что  , получим:

(9.5.20)

Функцию прозрачности голограммы получим, подставив (9.5.20) в (9.5.16). При А0, достаточно больших по сравнению с АЕ(p,q), разлагая (9.5.16) в степенной ряд и ограничиваясь линейным приближением, получим:

(9.5.21)

Запишем полученное выражение в более удобной для анализа форме:

(9.5.22)

Здесь

Соотношение (9.5.22) является уравнением голограммы Фурье, полученной по схеме рис. 9.5.2. но представляет собой связь амплитудного пропускания t (p,q) голограммы с пространственно-частотными характеристиками голографируемого плоского предмета.

С точностью до разрешающей способности фотопленки и в пределах линейности ее характеристики на голограмме зафиксирована вся информация о предмете, содержащаяся в его амплитудном AE(p,q) и фазовом j E(p,q) спектрах. Для сведения к минимуму нелинейных искажений при формировании голограммы необходимо правильно выбирать входящие в уравнение параметры kG , a и b , а следовательно, и определяющие их амплитуду А0 опорного пучка и коэффициент контрастности g . Обычно принимают А0>10AE и g » 2.

Проанализируем уравнение голограммы (9.5.22).

В правой части уравнения содержится три слагаемых. Постоянная составляющая kG a =t 0 определяет среднюю прозрачность голограммы, которая получилась бы в случае перекрывания пучка от предмета, т.е. когда AE(p,q)=0.

Вторая составляющая kG b AE2(p,q) характеризует дополнительную неравномерную засветку голограммы пучком от предмета. Так как эта составляющая вычитается из t 0, то она уменьшает прозрачность голограммы, особенно в тех местах, где велико значение амплитудного спектра предмета. Ввиду того, что для большинства предметов наибольшую энергию несут низкочастотные составляющие спектра, потемнение голограммы Фурье за счет второй составляющей сосредоточено вблизи начала координат частотной плоскости.

Вторая составляющая содержит лишь часть информации о предмете, так как в ней отсутствует фазовый спектр. Полную информацию содержит третья составляющая, возникающая благодаря интерференции предметного пучка с опорным. Из-за наличия в ней функции  она знакопеременная. При положительном значении косинуса она уменьшает прозрачность голограммы, при отрицательном- увеличивает. Эта составляющая представляет собой косинусную волну, промодулированную по амплитуде и фазе. Вектор несущей частоты косинусоиды имеет составляющие

(9.5.23)

зависящие от смещения предмета относительно опорного источника. Направление фронта волны косинусоиды получим из соотношения (9.5.19) для фазы. Полагая j E(p,q)=0, из (9.5.19) получим:

(9.5.24)

Так как фронт волны соединяет точки с одинаковой фазой, то, положив

(9.5.25)

получим уравнение фронта косинусоиды:

Это прямая, имеющая наклон k=-y0/x0. Косинусная волна на голограмме проявляется в виде периодических интерференционных полос и особенно хорошо видна при равномерных AE(p,q) и j E(p,q), т.е. когда она не сильно искажена модуляцией.

Таким образом, объект на голограмме представляется в виде суперпозиции элементарных косинусоид. Этим и объясняется, почему этот способ записи получил название голографии Фурье.

Следует отметить, что фазовый спектр j E(p,q), входящий в выражение для  есть фазовый спектр центрированного объекта, ибо смещение объекта на величины х0 и у0 от центра учитывается первым слагаемым в (9.5.19). Поэтому для всех объектов, имеющих центральную симметрию (двумерный аналог четности функций), j E(p,q)=0.

Отметим также, что голограмма Фурье любого вещественного объекта имеет центральную симметрию. Это следует из того, что уравнение голограммы таких объектов инвариантно по отношению к перемене знака пространственных частот, ибо входящие в него члены AE(p,q) и  не изменяют знака при изменении знаков p и q, первый вследствие центральной симметрии, а второй - вследствие четности.

При восстановлении голограммы она освещается параллельным пучком света (рис. 9.5.3) Каждая косинусоидальная решетка при этом сформирует изображение соответствующей точки в бесконечности. Если же сразу за голограммой установить линзу, то изображения всех точек пернесутся из бесконечности в фокальную плоскость линзы. Изображение объекта и сопряженное ему изображение будут располагаться симметрично относительно оси. На оси будет располагаться светлое пятно, обусловленное наличием первых двух слагаемых в уравнении голограммы.  

Рис. 9.5.3. Восстановление голограммы Фурье: 1-голографическая фотопластинка; 2-линза.

В заключение заметим, что воспроизведение большого диапазона значений прозрачности голограммы Фурье, полученной по схеме рис. 3.5.2, является сложной задачей, особенно при синтезе цифровых голограмм. Одним из путей устранения этой трудности является переход к схеме с рассеивателем. Эта схема отличается от предыдущей лишь тем, что перед предметом, установленным в плоскости П, помещается рассеиватель - тонкая прозрачная пластинка с неровной поверхностью (матовое стекло), не изменяющая амплитуду, но изменяющая случайным образом фазу в каждой точке падающей на предмет волны. Введенная таким образом случайная фаза не влияет на изображение предмета, получаемое при восстановлении, так как фотослой, регистрирующий изображение, чувствителен лишь к интенсивности восстановленной волны. В то же время она существенным образом перераспределяет энергию в частотной плоскости, т.е. в плоскости голограммы, значительно уменьшая требуемую фотографическую ширину фотослоя.

Изложенные выше свойства голограмм играют важную роль при разработке методов оптической фильтрации, краткая характеристика которых приведена в следующем параграфе.