18. Методы субъективных измерений, измерение достоверности ситуаций, важности целей и предпочтений управленческих решений.

Методы субъективных измерений

При формировании ситуаций, целей, ограничений и вариантов

решений ЛПР и эксперты производят объективные и субъективные

измерения характеристик достоверности, важности и

предпочтительности. Для осуществления субъективных измерений

применяются различные методы, наиболее употребительными из

которых являются: ранжирование, парное сравнение, непосредственная

оценка и последовательное сравнение.

При описании перечисленных методов будет предполагаться, что

имеется конечное число измеряемых объектов X=(x1,…,xm) и

сформулирован один или несколько признаков сравнения, по которым

осуществляется сравнение свойств объектов. Следовательно, методы

измерения будут различаться лишь процедурой сравнения объектов. Эта

процедура включает построение отношений между объектами

эмпирической системы, выбор отображающей функции f и определение

типа шкалы измерений. Рассмотрим все эти вопросы для каждого метода

измерения.

Ранжирование представляет собой процедуру упорядочения

объектов, выполняемую ЛПР или экспертом. На основе знаний и опыта

ЛПР или эксперт располагает объекты в порядке предпочтения,

руководствуясь одним или несколькими выбранными показателями

сравнения, и приписывает им соответствующие числовые

представления. Эти числовые представления могут быть любыми, но

должны удовлетворять единственному условию- их последовательность

должна быть монотонна.Следовательно, функция отображения

совокупности упорядоченных объектов в числовое представление

должна обладать свойством монотонности. Но таким свойством

функции отображения обладает шкала порядков, поэтому ранжирование

объектов есть измерение в порядковой шкале.

В практике ранжирования чаще всего в качестве числового

представления последовательности упорядоченных объектов

используется натуральный ряд чисел, называемых рангами и

обозначаемых буквой r. При этом наиболее предпочтительному объекту

присваивается ранг 1, а по мере убывания предпочтения значение ранга

возрастает. Эквивалентным объектам присваиваются одинаковые ранги.

50

Например, пусть имеется упорядоченная последовательность

объектов:

x1 φ x2 φ x3~x4~x5 φ x6 φ ... φ xm-1~xm (3.1)

Так как в этой последовательности есть эквивалентные объекты,

она образует нестрогий порядок.

Ранжирование объектов этой последовательности может быть

произведено следующим образом:

r1=f(x1)=1; r2=f(x2)=2; r3=r4=r5=3; r6=4; (3.2)

С точки зрения удобства последующей обработки применяется и

другой способ присвоения рангов эквивалентным объектам, при

котором им назначаются одинаковые ранги, равные среднему

арифметическому значению порядковых номеров этих объектов. Такие

ранги называют связанными рангами.

Для примера упорядочения (3.1) при m = 10 ранги эквивалентных

объектов x3, x4, x5 будут равными: r3 = r4 = r5 = (3 + 4 + 5)/3 = 4. Ранги

объектов x9, x10 также одинаковы и равны среднему арифметическому

r9= r10 = (9 + 10)/2 = 9,5. Как следует из этого примера, связанные ранги

могут быть дробными числами.

Удобство использования связанных рангов заключается в том, что

сумма рангов m объектов равна сумме натуральных чисел от 1 до m. При

этом любые комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму. Это

обстоятельство существенно упрощает обработку результатов

ранжирования при групповой экспертной оценке.

При групповом ранжировании каждый s-й эксперт присваивает

каждому i-му объекту ранг ris. В результате проведения экспертизы

получается матрица рангов is r размерности m×d, где d - число

экспертов, m - число объектов (s = 1, 2, ..., d; i = 1, 2, ..., m). Удобно

представить результаты группового экспертного ранжирования в виде

табл. 3.1.

Таблица 3.1

Эксперты

Объекты

Э1 Э2 . . . Эd

X1 r11 r12 . . . r1d

X2 r21 r22 . . . r2d

Xm rm1 rm2 . . . rmd

Аналогичный вид имеет таблица, если осуществляется ранжирование

объектов одним ЛПР (или экспертом) по нескольким показателям

51

сравнения. В этом случае вместо экспертов в таблице указываются

показатели сравнения.

Напомним, что ранги объектов определяют только порядок

расположения объектов по показателям сравнения. Ранги как числа не

дают возможности сделать вывод о том, на сколько или во сколько раз

предпочтительнее один объект по сравнению с другими. Если,

например, ранг объекта равен трем, то отсюда не следует, что объект с

рангом 1 в три раза предпочтительнее, чем объект с рангом 3.

Достоинством ранжирования как метода субъективного измерения

является простота осуществления процедур, не требующая какого-либо

трудоемкого обучения экспертов. Недостатком ранжирования является

практическая невозможность упорядочения большого числа объектов.

Как показывает опыт, при числе объектов, большем 15-20, эксперты

затрудняются в построении ранжировки. Это объясняется тем, что в

процессе ранжирования эксперт должен установить взаимосвязь между

всеми объектами, рассматривая их как единую совокупность. При

увеличении числа объектов количество связей между ними растет

пропорционально квадрату числа объектов. Сохранение в памяти и

анализ большой совокупности взаимосвязей между объектами

ограничиваются психологическими возможностями человека. Поэтому

при ранжировании большого числа объектов эксперты могут допускать

существенные ошибки.

Парное сравнение представляет собой процедуру установления

предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар. В отличие

от ранжирования, в котором осуществляется упорядочение всех

объектов, парное сравнение объектов представляет собой более простую

задачу. При сравнении пары объектов возможно либо отношение

строгого порядка, либо отношение эквивалентности. Отсюда следует,

что парное сравнение, так же как и ранжирование, есть измерение в

порядковой шкале.

В результате сравнения пары объектов xi, xj эксперт упорядочивает

ее, высказывая либо xi φ xj, либо xi π xj, либо xi ~ xj. Выбор числового

представления f(xi) можно произвести так: если xi φ xj, то f(xi) > f(xj);

если предпочтение в паре обратное, то знак неравенства заменяется на

обратный, т_М________.е. f(xi) < f(xj). Наконец, если объекты эквивалентны, то

естественно считать, что f(xi) = f(xj).

В практике парного сравнения используются следующие числовые

представления:

⎪⎩

⎪⎨ ⎧

=

i j

i j

ij x x

x x

c

π

φ

0, если

1, если ~

(i, j = 1,m) (3.3)

или

52

( , 1, )

0,

1, ~

2,

i j m

если x x

если x x

если x x

c

i j

i j

i j

ij =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

π

φ

(3.4)

Результаты сравнения всех пар объектов удобно представлять в

виде матрицы. Пусть, например, имеется пять объектов x1, ..., x5 и

проведено парное сравнение этих объектов по предпочтительности.

Результаты сравнения представлены в виде x1 φ x2, x1 φ x3, x1 φ x4 ,

x1 π x5, x2 φ x3 , x2 φ x4, x2 π x5, x3 ~ x4, x3 π x5, x4 π x5. Используя числовое

представление (3.3), составим матрицу измерения результатов парных

сравнений (табл. 3.2). В табл. 3.2 на диагонали всегда будут

расположены единицы, поскольку объект эквивалентен себе.

Представление (3.4) характерно для отображения результатов

спортивных состязаний. За выигрыш дается два очка, за ничью - одно и

за проигрыш - ноль очков. Предпочтительность одного объекта перед

другим трактуется в данном случае как выигрыш одного участника

турнира у другого. В качестве примера в табл. 3.3 приведены результаты

измерения рассматриваемых пяти объектов с использованием

представления (3.4).

Таблица 3.2 Таблица 3.3

x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5

x1 1 1 1 1 0 x1 1 2 2 2 0

x2 0 1 1 1 0 x2 0 1 2 2 0

x3 0 0 1 1 0 x3 0 0 1 1 0

x4 0 0 1 1 0 x4 0 0 1 1 0

x5 1 1 1 1 1 x5 2 2 2 2 1

Если сравнение пар объектов производится отдельно по

различным показателям или сравнение осуществляет группа экспертов,

то по каждому показателю или эксперту составляется своя таблица

результатов парных сравнений. Поэтому образуется пакет таблиц.

Сравнение во всех возможных парах не дает полного

упорядочения объектов. Поэтому возникает задача ранжировки объектов

по результатам их парного сравнения. Решение этой задачи возможно

различными способами, простейшим из которых является следующий.

Производят суммирование элементов матрицы парных сравнений

в пределах каждой строки. В результате получают значения сумм по

каждой строке матрицы. Полученные __________суммы располагают в порядке

убывания их значений, что соответствует расположению объектов по

убыванию их предпочтительности. Упорядоченные таким образом

объекты могут быть отранжированы по рассмотренным ранее правилам.

53

Для данных табл. 3.2 получим: суммы элементов по строкам C1= 4;

C2 = 3; C3 = 2; C4 = 2;C5 = 5. Соответствующее этим значениям сумм

упорядочение объектов по предпочтительности будет: x5 φ x1 φ x2 φ x3 ~

x4.

Непосредственная оценка представляет собой процедуру

приписывания объектам числовых значений в шкале интервалов. ЛПР

или эксперту необходимо поставить в соответствие каждому объекту

точку на определенном отрезке числовой оси. При этом эквивалентным

объектам приписываются одинаковые числа. Удобно результат

приписывания объектам чисел представить графически. На рис. 3.2 в

качестве примера приведено такое представление пяти объектов на

отрезке числовой оси [0, 1].

Поскольку за начало отсчета выбрана нулевая точка, то в данном

примере измерение производится в шкале отношений. ЛПР или эксперт

соединяет каждый объект линией с точкой числовой оси. Из рисунка

следует, что числовые представления объектов равны: f(x1) = 0,28; f(x2) =

f(x5)=0,75; f(x3)=0,2; f(x4) = 0,5.

Измерения в шкале интервалов могут быть осуществлены с

достаточной точностью при полной информированности ЛПР

(экспертов) о свойствах объектов. Эти условия на практике встречаются

редко, поэтому часто для измерения применяют балльную оценку. При

этом вместо непрерывного отрезка числовой оси рассматривают

участки, каждому из которых приписывается свой балл. ЛПР или

эксперт, приписывая объекту балл, тем самым измеряет его с точностью

до определенного участка числовой оси.

Рис. 3.2. Непосредственная оценка объектов.

Применяются 5-, 10- и 100-балльные шкалы.

Последовательное сравнение представляет собой комплексную

процедуру измерения, включающую как ранжирование, так и

непосредственную оценку. При последовательном сравнении ЛПР

(эксперт) выполняет следующие операции:

а) осуществляет ранжирование объектов;

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x5

x4

x3

x2

x1

54

б) производит непосредственную оценку объектов на отрезке [0,1],

полагая, что числовая оценка первого в ранжировке объекта равна

единице, т.е. f(x1) = 1;

в) решает, будет ли первый объект превосходить по пред-

почтительности все остальные объекты вместе взятые. Если да, то

эксперт увеличивает значение числовой оценки первого объекта так,

чтобы она стала больше суммы числовых оценок остальных объектов,

т.е. Σ=

>

m

i

f x f xi

2

1 ( ) ( ). В противном случае он изменяет величину f(x1) так,

чтобы она стала меньше, чем сумма оценок остальных объектов;

г) решает, будет ли второй объект предпочтительнее, чем все

последующие вместе взятые объекты, и изменяет f(x2) так же, как это

описано для f(x1) в п. в;

д) продолжает операцию сравнения предпочтительности

последующих объектов и изменяет числовые оценки этих объектов в

зависимости от своего решения о предпочтении;

е) повторяет п.п. в, г, д до тех пор, пока не будут выполнены

указанные условия.

В табл. 3.4 показан пример измерения пяти объектов методом

последовательного сравнения в предположении, что выполняется

условие „в” для всех объектов.

Таблица 3.4

Объекты Исходные

оценки

1я

итерация

2я

итерация

Нормированные

оценки (приведенные

к интервалу [0,1])

x1

x2

x3

x4

x5

1

0,8

0,5

0,3

0,2

2

1,2

0,6

0,3

0,2

2,5

1,2

0,6

0,3

0,2

1

0,48

0,24

0,12

0,08

Кроме описанной процедуры последовательного сравнения,

существует несколько ее модификаций, которые незначительно

отличаются от рассмотренной.

Рассмотренные четыре метода измерения - ранжирование, парное

сравнение, непосредственная оценка и последовательное сравнение -

обладают различными качествами, но приводят к близким результатам.

Экспериментальная сравнительная оценка этих методов показала, что

наиболее эффективным является комплексное применение всех методов

для решения одной и той же задачи. При этом следует учитывать, что

методом, требующим минимальных трудозатрат, является

ранжирование, а наиболее трудоемким – метод последовательного

55

сравнения. Метод парного сравнения без дополнительной обработки не

дает полного упорядочения объектов.